Al final de un cálculo resultó que quería saber el valor de$$\sin(2\pi/7) + \sin(4\pi/7) - \sin(6\pi/7).$ $ Puesto que sabía la respuesta que se suponía que, yo era capaz de trabajar que el anterior es igual a$\sqrt{7}/2$ y puedo confirmar esto numéricamente. ¿Cómo voy a probar esto? Sospecho que quiero usar las raíces séptimo de la unidad de alguna manera, pero no estoy seguro de cómo proceder.
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martinhans
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Una solución sin usar trinometry, pero sólo las propiedades de las raíces de la unidad:
(Esta prueba ha sido refinado después de revisar este excelente post aquí. Yo sabía que tenía que haber un enfoque más directo!:))
Deje $\omega=e^{i2\pi/7}$, es decir, la primitiva $7$th raíz de la unidad. Por definición, $$1+\omega^1+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6=0$$
Vamos $$\begin{align} S&=\omega^1+\omega^2+\omega^4\\ \Rightarrow\quad S^2&=\omega^2+\omega^4+\omega^8+2(\omega^3+\omega^6+\omega^5)\\ &=2(\underbrace{\omega^1+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6}_{=-1})-(\underbrace{\omega^1+\omega^2+\omega^4}_{=S})\\ &=-2-S\\ S^2+S+2&=0\\ S&=-\frac 12\pm\frac{\sqrt7}2i\\\\ \sin\frac{2\pi}7+\sin\frac{4\pi}7-\sin\frac{6\pi}7 &=\Im(\omega^1+\omega^2-\omega^3)\\ &=\Im(\omega^1+\omega^2+\omega^4)\\ &=\Im(S)\\ &=\frac{\sqrt7}2\quad\blacksquare \end{align}$$
NB - El valor positivo es elegido como $\sin\frac {2\pi}7+\sin\frac {4\pi}7-\sin\frac {6\pi}7=\sin\frac {2\pi}7+\sin\frac {4\pi}7-\sin\frac {\pi}7>0$, ya que el $\sin\frac \pi7<\sin\frac {2\pi}7$.
$\tiny\color{\lightgrey}{\text{Previous solution (now superceded) shown below.}}$ $$\tiny\color{gris}{\begin{align} \sin\frac {2\pi}7+\sin\frac {4\pi}7-\sin\frac {6\pi}7 &=\sin\theta+\sin 2\theta-\sin3\theta \qquad\qquad (\theta=2\pi/7;\;\omega=e^{i\theta}=e^{i2\pi/7})\\ &=\frac 1{2i}\left[(\omega^1-\omega^{-1})+(\omega^2-\omega^{-2})-(\omega^3-\omega^{-3})\right]\\ &=\frac 1{2i}\left[(\omega^1-\omega^6)+(\omega^2-\omega^5)-(\omega^3-\omega^4)\right]\\ &=\frac 1{2i}\left[\underbrace{\omega^1+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6}_{=-1}-2(\omega^3+\omega^5+\omega^6)\right]\\ &=-\frac 1{2i}\left[1+2(\omega^3+\omega^5+\omega^6)\right]\\ \left(\sin\frac {2\pi}7+\sin\frac {4\pi}7-\sin\frac {6\pi}7\right)^2 &=-\frac14\left[1+4(\omega^3+\omega^5+\omega^6)+4(\omega^3+\omega^5+\omega^6)^2\right]\\ &=-\frac 14\left[1+4(\omega^3+\omega^5+\omega^6)+4(\omega^6+\omega^{10}+\omega^{12}+2\omega^8+2\omega^{11}+2\omega^9)\right]\\ &=-\frac 14\left[1+4(\omega^3+\omega^5+\omega^6)+4(\omega^6+\omega^{3}+\omega^{5}+2\omega^1+2\omega^{3}+2\omega^2)\right]\\ &=-\frac 14\left[8(\underbrace{1+\omega^1+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6}_{=0})-7\right]\\ &=\frac 74\\ \sin\frac {2\pi}7+\sin\frac {4\pi}7-\sin\frac {6\pi}7&=\frac{\sqrt7}{\;2}\quad\blacksquare \end{align}}$$
Aunque no es muy elegante, que puede hacer este cálculo por la fuerza bruta. Tenemos:
$$ \begin{split} i(\sin(2\pi/7)+\sin(4\pi/7)-\sin(6\pi/7)&=\frac{1}{2}(e^{2\pi i/7}-e^{-2\pi i/7}+e^{4\pi i/7}-e^{-4\pi i/7}-e^{6\pi i/7}+e^{-6\pi i/7}) \\ &=\frac{1}{2}(e^{2\pi i/7}-e^{12\pi i/7}+e^{4\pi i/7}-e^{10\pi i/7}-e^{6\pi i/7}+e^{8\pi i/7}) \end {} $$ Dividida
cuadrar este obtenemos:
$$ \begin{split} && \frac{1}{4}(e^{2\pi i/7}-e^{12\pi i/7}+e^{4\pi i/7}-e^{10\pi i/7}-e^{6\pi i/7}+e^{8\pi i/7})^2 \\ =&& \frac{1}{4}(\underbrace{e^{4\pi i/7}+e^{10\pi i/7}+e^{8\pi i/7}+e^{6\pi i/7}+e^{12\pi i/7}+e^{2\pi i/7}}_{=-1}-2e^{2\pi i}+2e^{6\pi i/7}-2e^{12\pi i/7}-2e^{8\pi i/7}+2e^{10\pi i/7}-2e^{2\pi i/7}+2e^{8\pi i/7}+2e^{4\pi i/7}-2e^{6\pi i/7}-2e^{2\pi i} -2e^{10\pi i/7}+2e^{12\pi i/7}+2e^{2\pi i/7}-2e^{4\pi i/7}-2e^{2\pi i}) \\=&&\frac{1}{4}(-1-2-2-2)=\frac{-7}{4} \end {} $$ Dividida
Esto nos da:
$$ \begin{split} &&(i(\sin(2\pi/7)+\sin(4\pi/7)-\sin(6\pi/7))^2=\frac{-7}{4} \\ &\implies& -(\sin(2\pi/7)+\sin(4\pi/7)-\sin(6\pi/7))^2=\frac{-7}{4} \\ &\implies& \sin(2\pi/7)+\sin(4\pi/7)-\sin(6\pi/7)=\frac{\sqrt{7}}{2} \end {} $$ Dividida
Por desgracia, este enfoque no es muy esclarecedor.
GohP.iHan
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Desde$ \sin\left(\frac{6\pi}7\right) = \sin\left(\frac{\pi}7\right) $, entonces la expresión es positivo porque$ \sin\left(\frac{2\pi}7\right) - \sin\left(\frac{\pi}7\right) > 0 $.
Deje$ I $ el valor de esta expresión, a continuación,$ I > 0 $. Considerar
$ I^2 = \left[\underbrace{ \sin^2\left(\frac{2\pi}7\right) + \sin^2\left(\frac{4\pi}7\right) + \sin^2\left(\frac{6\pi}7\right)}_{J} \right] - \left [ \underbrace{2\sin\left(\frac{2\pi}7\right) \sin\left(\frac{4\pi}7\right) - 2\sin\left(\frac{2\pi}7\right) \sin\left(\frac{6\pi}7\right) - 2\sin\left(\frac{4\pi}7\right) \sin\left(\frac{6\pi}7\right)}_{K} \right ] $
Por la fórmula del ángulo mitad,$\sin^2(A) = \frac12 (1-\cos(2A)) $, entonces$J = \frac32 - \frac12 \left( \cos\left(\frac{4\pi}7\right) + \cos\left(\frac{8\pi}7\right) + \cos\left(\frac{12\pi}7\right) \right) = \frac32 - \frac12\left( \cos\left(\frac{3\pi}7\right) + \cos\left(\frac{5\pi}7\right) + \cos\left(\frac{\pi}7\right)\right) $
$J = \frac32 + \frac12 \times \frac12 = \frac74$
Por productos para resumir fórmula,$\cos(A) - \cos(B) = -2\sin\left( \frac{A+B}2\right)\sin\left( \frac{A-B}2\right) $, se puede demostrar que$ K = 0 $?
Farkhod Gaziev
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6
El Uso De Prosthaphaeresis Fórmulas,
$$\sin2x+\sin4x-\sin6x=2\sin2x\cos2x-(2\sin2x\cos4x)$$ $$=2\sin2x(\cos2x-\cos4x)=4\sin2x\sin3x\sin x$$
Ahora, a partir de esto, $\sin(2n+1)x=(2n+1)\sin x+\cdots+2^{2n}(-1)^n\sin^{2n+1}x$
Si $\sin(2n+1)x=0,(2n+1)x=m\pi$ donde $m$ es cualquier entero
$x=\dfrac{m\pi}{2n+1}$ donde $m\equiv0,\pm1,\pm2,\cdots,\pm n\pmod{2n+1}$
Así, las raíces de $$2^{2n}(-1)^nt^{2n+1}x+\cdots+(2n+1)t=0$$ are $\el pecado\dfrac{m\pi}{2n+1}$ where $m\equiv0,\pm1,\pm2,\cdots,\pm n\pmod{2n+1}$
Así, las raíces de $$2^{2n}(-1)^nt^{2n}x+\cdots+2n+1=0$$ are $\el pecado\dfrac{m\pi}{2n+1}$ where $m\equiv\pm1,\pm2,\cdots,\pm n\pmod{2n+1}$
$\implies\prod_{r=-n}^n\sin\dfrac{m\pi}{2n+1}=\dfrac{2n+1}{2^{2n}(-1)^n}$
Ahora como $\sin(-y)=-\sin y,$
$\implies\prod_{r=1}^n(-1)^n\sin^2\dfrac{m\pi}{2n+1}=\dfrac{2n+1}{2^{2n}(-1)^n}$
Como $0<\dfrac{m\pi}{2n+1}<\dfrac\pi2$ $1\le m\le n,$
$\implies\prod_{r=1}^n\sin\dfrac{m\pi}{2n+1}=\dfrac{\sqrt{2n+1}}{2^n}$
Aquí $n=3$
