Cerrado forma $\int_0^R \frac{dx}{\sqrt{\ln(1+x)}}$, R > 0

Question

Me topé con un interesante integral haciendo algo de física de ejercicios que no requieren de su forma cerrada (si es que tiene alguno). Tiene, sin embargo, despertó mi interés y he intentado mi mejor para encontrarlo, pero no podía. La integral es :

$$\int_0^R \frac{\text{d}x}{\sqrt{\ln(1+x)}}$$ with $$R>0$$

Se parece a $$\int_0^R \frac{\text{d}x}{(x+1)\sqrt{\ln(1+x)}}$$ que es fácil de integrar, pero parece que la primera es mucho más difícil. Wolfram Alpha no muestra los resultados en el caso general (para cualquier real positivo $R$), incluso si se encuentran algunos de los resultados de los valores de característica como $R$=1. Esto me hace pensar que no es fácil la forma cerrada para esta integral. Sin embargo, estoy abierto a cualquier sugerencia sobre cómo abordar este problema de manera más eficiente, o cualquier solución, incluso si es, probablemente, más allá de mis matemáticas de nivel.

Edit : Esto no era tan difícil, de hecho, yo debería haber pensado en esto. Todavía estoy perplejo acerca de la complejidad de sustitución necesarias para encontrar cansado del resultado (con un factor que falta de $-i$ aparentemente), así que voy a buscar algunas de confirmación antes de aceptar cualquier cosa.

Answer 1

Ok, esto no es tan difícil:

Establecimiento $x+1=y$ nuestros integral en cuestión es:

$$ I=\int_1^{I+1}\frac{1}{\sqrt{\log(y)}}dy $$

luego, utilizando $y=e^q$ obtenemos:

$$ I=\int_0^{\log(R+1)}\frac{e^p}{\sqrt{q}}dq $$

a continuación, ajuste de $q=p^2$ tenemos

$$ I=2\int_{0}^{\sqrt{\log(R+1)}}e^{p^2}dp=-i\sqrt{\pi}\text{Fer} i\sqrt{\log(R+1)}) $$ si no me equivoco. $\text{Erf}(z)$ denota la función de Error. Tenga en cuenta que es legítimo sustituto $p\rightarrow ip$ porque nuestro integrando pasa a ser una función completa.