Cómo puedo encontrar un elemento $x\not\in\mathfrak mM_{\mathfrak m}$ cada máxima % ideal $\mathfrak m$

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con un número finito de máximos ideales de $\mathfrak m_1,\ldots,\mathfrak m_n$. Deje $M$ ser un finitely módulo generado. Entonces existe un elemento $x\in M$ tal que $\frac{x}{1}\not\in\mathfrak m_iM_{{\mathfrak m}_i}$ por cada $i=1,\dots,n$.

No puedo probar que tal elemento no existe. Yo estaba tratando de demostrar por inducción sobre $n$. Si $n=1$ es cierto por Nakayama, así que supongamos que es cierto para $n-1$. A continuación, para cada $i$ puedo encontrar una $x_i\in M$ tal que $\frac{x_i}{1}\not\in \mathfrak m_jM_{\mathfrak m_j}$ por cada $j\neq i$. Si $\frac{x_i}{1}\not\in \mathfrak m_iM_{\mathfrak m_i}$ algunos $i$ hemos terminado, así que supongamos $\frac{x_i}{1}\in\ m_iM_{m_i}$ por cada $i$. No sé cómo continuar, ¿podría usted ayudarme?

Answer 1

Podemos utilizar CRT.

Tenemos $M/\mathfrak{m}_iM\cong M_{\mathfrak{m}_i}/\mathfrak{m}_iM_{\mathfrak{m}_i}$ y $R/\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_n\cong R/\mathfrak{m}_1\times\cdots\times R/\mathfrak{m}_n$. Tensoring con $M$ obtenemos $M/\prod_i\mathfrak{m}_iM\cong M/\mathfrak{m}_1M\times\cdots\times M/\mathfrak{m}_nM$. $M/\mathfrak{m}_iM$ Tiene el mismo rango $l$, podemos encontrar un mapa $(R/\mathfrak{m}_1\cdots\mathfrak{m}_n)^l\cong M/\mathfrak{m}_1\ldots \mathfrak{m}_nM$. Levantar este mapa $R^l\to M$ y la aplicación de Nakayama podemos ver este mapa son un isomorfismo. Hecho.