Generalización de Jensen ' desigualdad s a varias variables.

Question

Que $f\colon D\to\mathbb{R}$ sea una función continua, donde $D\subseteq\mathbb{R}^n$ es un conjunto abierto convexo. Encontrar una condición suficiente en el derivado de $f$ tal que para cualquier $x_i\in D$, $1\leq i\leq n$, tenemos $$\frac{\sum_{i=1}^n f(x_i)}{n}\geq f\bigg(\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\bigg).$ $

He pensado que subiendo esta pregunta yo mismo. Me preguntaba si hay una prueba sencilla (por ejemplo, $\frac{\partial f}{\partial x}\geq0$ y $\frac{\partial f}{\partial y}\geq0$) para que puedo utilizar la desigualdad anterior.

Answer 1

Uno puede demostrar generalizado de la desigualdad de Jensen por inducción. Por ejemplo, usted lo puede encontrar aquí.

Por lo tanto es suficiente para garantizar que la función $\,f:D\subset \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\,$ es convexo. No estoy seguro de si es posible llegar a la condición en la $1^\mathrm{st}$ derivados de $\,f$, de manera que la garantía de la convexidad de la función. Sin embargo, es bien conocido el resultado que implican $2^\mathrm{nd}$ derivados que debe hacer el truco:

$\ldots$ continua y dos veces diferenciable función de varias variables es convexa en un conjunto convexo si y sólo si su matriz Hessiana es positivo semidefinite en el interior del conjunto convexo.