Una prueba de que un producto contable de conjuntos contables es no vacío que no utiliza el axioma de elección. ¿Es correcta la demostración?

Question

Dejemos que $I$ sea un conjunto no vacío de índices y para cada $i \in I$ dejar $A_i$ sea un conjunto con cardinalidad $\aleph_0$ . ¿Es la siguiente prueba que el producto cartesiano $\prod_{i \in I}A_i$ ¿es válido el no vacío sin el axioma de elección?

Por definición, ya que $|A_i| = \aleph_0$ por cada $i \in I$ entonces hay biyecciones $f_i: \mathbb{N} \rightarrow A_i$ por cada $i \in I$ . Definamos explícitamente la función de elección $g: I \rightarrow \bigcup_{i \in I}A_i$ por: $g(i) = f_i(0)$ . Es claramente una función de elección, por lo tanto $\prod_{i \in I} A_i \ne \emptyset$ . QED.

Si es válida, ¿puede generalizarse a cualquier producto cartesiano de conjuntos con igual cardinalidad? Si no es válida, ¿por qué?

Answer 1

Su argumento hace invocan la elección, aunque de forma sutil: cuando se elige una familia de biyecciones $\{f_i: i\in I\}$ . Sólo porque, para cada $i$ el conjunto $F_i$ de biyecciones de $A_i$ a $\mathbb{N}$ es no vacía, no significa que se pueda elegir una para cada $i$ ; este es exactamente el axioma de elección aplicado a la familia $\{F_i: i\in I\}$ . Para definir $g(i)$ necesita remitirse a un $f_i$ Así que este uso de la elección no es fácil de eliminar de su argumento; y de hecho se puede demostrar que la afirmación que usted está tratando de demostrar no es demostrable en ZF (= teoría de conjuntos sin elección) por sí sola.

De hecho, esto se mantiene de la manera más poderosa posible: incluso la elección de las familias de dos elementos ¡conjuntos no es demostrable en ZF!

Answer 2

No hay absolutamente ninguna forma general de elegir una biyección canónica $f_i$ . Claro, es posible cuando todos tus conjuntos son de hecho conjuntos de números naturales o algo así. Pero en general, ¿por qué preferirías $f_0$ sobre una biyección diferente que quizás mapea $f_i(0)$ a $f_i(1)$ ¿y viceversa?

Aquí es donde usaste el axioma de la elección. Dijiste que para todos $i$ el conjunto de biyecciones no es vacío, y por lo tanto se puede elegir uno de cada uno de estos conjuntos, y así se obtiene un elemento del producto.

Por supuesto, es consistente sin el axioma de elección que un producto contable de conjuntos de tamaño $2$ puede estar vacío.

Answer 3

Cuando crees que estás definiendo g 'explícitamente' , pues de hecho no lo estás haciendo. Puedes hacer tales definiciones 'explícitas', por ejemplo, cuando das una fórmula explícita sobre números reales porque estás manipulando sólo uno o unos pocos símbolos (normalmente sólo 'x').

Aquí estás manipulando un número arbitrario de símbolos $f_i$ . El hecho de que pienses en ellos como indexados por i no significa que realmente puedas referirte a todos ellos... hasta que tengas un axioma que diga que puedes hacerlo. Eso es AC. Te permite usar un número arbitrario de símbolos en esa situación específica. De hecho, es más una solución que usar un número arbitrario de símbolos.

Recuerda que g es un objeto de la teoría de conjuntos, que debe construirse mediante axiomas. No existe el axioma "definir explícitamente una función".