¿Existe una función cuyos límites en puntos racionales se aproximen al infinito?

Question

¿Existe una función $f\colon\mathbb R \to \mathbb R$ ¿tal que sus límites en los puntos racionales se acercan al infinito?

Answer 1

Supongamos que $\lim_{x\to q}f(x)=\infty$ para cada $q\in\mathbb Q.$ Dado $q\in\mathbb Q$ y $n\in\mathbb N,$ hay un barrio $U_{n,q}$ de $q$ tal que $f(x)\gt n$ para todos $x\in U_{n,q}\setminus\{q\}.$ Para cada $n\in\mathbb N,$ el conjunto $U_n=\bigcup_{q\in\mathbb Q}U_{n,q}$ es un conjunto abierto denso, y $f(x)\gt n$ para cada irracional $x\in U_n.$ Por el Teorema de la categoría Baire el conjunto $$\left(\bigcap_{n\in\mathbb N}U_n\right)\setminus\mathbb Q=\left(\bigcap_{n\in\mathbb N}U_n\right)\cap\left(\bigcap_{q\in\mathbb Q}(\mathbb R\setminus\{q\})\right)$$ es no vacía, es decir, hay un número irracional $x\in\bigcap_{n\in\mathbb N}U_n.$ Entonces $f(x)\gt n$ para todos $n\in\mathbb N,$ lo cual es absurdo.