¿Hay una diferencia topológica entre un monopolo eléctrico y un monopolo magnético?

Question

Cuando introducimos monopolos magnéticos, tenemos dualidad, es decir, invariabilidad bajo el intercambio de campos eléctricos y magnéticos.

Los monopolos magnéticos (Dirac) suelen ser discutidos usando argumentos topológicos. El campo electromagnético es infinito en un punto y por lo tanto restringimos nuestra descripción a

$$ \mathbb {R}^3 - \{0 \} \simeq S^2$$

El efecto de un monopolo magnético es que cambia la topología de tal manera que ya no tenemos el paquete trivial $S^2 \times U(1)$ pero en cambio el paquete principal $S^3$ . Expresado de forma diferente, un monopolo magnético es descrito por el mapa Hopf $S^3 \to S^2$ .

¿Por qué no necesitamos esta construcción para "monopolos eléctricos", es decir, un punto de carga eléctrica como un electrón? El campo electromagnético es también singular en la ubicación del monopolo eléctrico y por lo tanto sospecharía que la misma línea de argumentos se mantiene. Además, ¿no nos dice la dualidad que no hay diferencia entre un monopolo eléctrico y uno magnético?

Nunca he visto una discusión en términos topológicos de una carga de punto eléctrico como un electrón y por lo tanto me preguntaba, por qué estos siempre se introducen sólo para los monopolos magnéticos.

Answer 1

La diferencia entre ambos surge porque las ecuaciones de Maxwell, si bien parecen perfectamente "iguales", en realidad no son todas de la misma naturaleza cuando expresamos el electromagnetismo en términos de un potencial. Si piensas en $F$ como la variable dinámica, entonces $$ \mathrm {d}F = 0 \quad \mathrm {d}{ \star }F = 0$$ en el vacío se ven perfectamente simétricos, y podrías imaginarte añadiendo 3 densidades de corriente eléctrica y magnética (estos son los duales de Hodge de las densidades de corriente estándar de 1 vector) $j_ \text {el},j_ \text {mag}$ para obtener $$ \mathrm {d}F = j_ \text {mag} \quad \mathrm {d}{ \star }F = j_ \text {el}.$$ Estas serían las "ecuaciones de Maxwell" del electromagnetismo con cargas magnéticas y eléctricas. Sin embargo, esta teoría tiene un "problema", es bastante difícil escribirla como una formulación de mínima acción. Allí es uno, debido a Zwanziger en "Teoría del Campo Cuántico Local-Lagrangiano de Cargas Eléctricas y Magnéticas" ver también esta respuesta mía pero es bastante difícil de manejar y antinatural, y tiene que duplicar artificialmente el d.o.f. introduciendo tanto un potencial eléctrico como magnético e imponiendo sus fuerzas de campo siendo Hodge dual a nivel de las ecuaciones de movimiento. Mi respuesta vinculada también señala que hay una manera de obtener monopolos magnéticos que no son topológicos en la forma en que usted está pensando aquí - esta pregunta parece ser sobre los monopolos singulares de Dirac en lugar de los monopolos no singulares de Hooft-Polyakov.

Mucho más natural es hacer que las cargas magnéticas se desvanezcan, es decir. $ \mathrm {d}F = 0$ . Entonces, localmente, por el lema de Poincaré existe un potencial de 1 forma $A$ con $ \mathrm {d}A = F$ y está el natural Yang-Mills Lagrangiano con $A$ acoplado a una corriente de rendimiento $ \mathrm {d}{ \star }F = j_ \text {el}$ cuando $A$ es considerada como la variable dinámica. La observación crucial es que en esta formulación Lagrangiana, $ \mathrm {d}F = 0$ es no una ecuación de movimiento. Es la identidad de Bianchi simplemente siguiendo de definiendo $F$ para ser el derivado del potencial $A$ y por lo tanto es imposible para acoplar la teoría del potencial eléctrico $A$ a una corriente magnética. Como ya ha mencionado, introducir monopolos magnéticos en esta teoría de los medidores requiere un "engaño topológico", donde tenemos que excluir la posición del monopolo del espacio tiempo que estamos considerando para rescatar $ \mathrm {d}F = 0$ y por lo tanto la descripción en términos de $A$ ver también esta respuesta mía .

Ahora, se podría decir que desde que presentamos $A$ basado en las ecuaciones de Maxwell y estas son perfectamente simétricas, no hay nada fundamental en la carga magnética que la hace la que se supone que debe ser descrita de esta manera topológica en lugar de la carga eléctrica. Podemos cambiar $F$ y ${ \star }F$ es decir, cambiar lo que vemos como la cantidad fundamental y que como el dual de Hodge, y definir en su lugar el estado "por defecto" de nuestra teoría gauge como uno en el que las cargas eléctricas están ausentes, de modo que tenemos un potencial magnético $B$ con $ \mathrm {d} \mathrm {d}B = \mathrm {d}{ \star }F = 0$ .

Pero como las cargas eléctricas son tan abundantes en nuestro mundo cotidiano mientras que las magnéticas no lo son, esto es terriblemente ineficiente.

Answer 2

Bien, entonces $$ \int_0 ^1x^k(1-x)^kdx= \dfrac {(k!)^2}{(2k+1)!}$$ Para una prueba, consulte, Buenas maneras de integrar $ \int_0 ^1 x^{k+1} (1-x)^k dx$ ?

Deje que $y= 1-x$ $$ \sum_ {k=0}^{ \infty }= \dfrac {(k!)^2}{(2k)!}= \sum_ {k=0}^ \infty (2k+1) \int_0 ^1(xy)^kdx= \int_0 ^1 \dfrac {1}{1-xy}dx+ \int_0 ^1 \dfrac {2xy}{(1-xy)^2}dx$$ Esto es mediante el intercambio de orden de suma e integración y luego usando la fórmula para la serie geométrica y una serie relacionada. Evaluando esto obtenemos la respuesta.

Answer 3

Bueno, una diferencia es el calibre 4-potencial $A_{ \mu }$ en E&M. Por un lado, un monopolo eléctrico se carga en la posición ${ \rm r}$ es perfectamente consistente con un calibre 4-potencial $A_{ \mu }$ en el mismo lugar, por ejemplo, un potencial de Coulomb; mientras que un monopolo magnético Dirac es incompatible con un potencial de calibre 4 $A_{ \mu }$ en la misma posición ${ \rm r}$ . Hay que introducir una topología no trivial y/o cuerdas Dirac.

Tal vez debería hacerse hincapié en que los monopolos magnéticos reales (que hasta ahora no se han observado experimentalmente) se cree que son monopolos Hooft-Polyakov, no monopolos Dirac, véase mi respuesta Phys.SE. aquí .