Cualquier subconjunto abierto de $\Bbb R$ es una unión contable de intervalos abiertos disjuntos

Question

Dejemos que $U$ sea un conjunto abierto en $\mathbb R$ . Entonces $U$ es una unión contable de intervalos disjuntos.

Esta pregunta probablemente ya se ha formulado. Sin embargo, no me interesa sólo obtener la respuesta a la misma. Más bien, me interesa recopilar el mayor número de pruebas diferentes de la misma que sean lo más diversas posible. Un profesor me ha dicho que hay muchas. Así que invito a todos los que hayan visto pruebas de este hecho a que las compartan con la comunidad. Creo que es un resultado que vale la pena saber demostrar de muchas maneras diferentes y tener un post que reúna el mayor número posible de ellas será, sin duda, bastante útil. Después de dos días, pondré una recompensa en esta pregunta para atraer al mayor número de personas posible. Por supuesto, cualquier comentario, corrección, sugerencia, enlace a documentos/notas, etc., será más que bienvenido.

Answer 1

Aquí hay uno para empezar.

Dejemos que $U$ sea un subconjunto abierto no vacío de $\Bbb R$ . Para $x,y\in U$ definir $x\sim y$ si $\big[\min\{x,y\},\max\{x,y\}\big]\subseteq U$ . Es fácil comprobar que $\sim$ es una relación de equivalencia en $U$ cuyas clases de equivalencia son intervalos abiertos disjuntos en $\Bbb R$ . (El término intervalo incluye aquí los intervalos no limitados, es decir, los rayos). Sea $\mathscr{I}$ sea el conjunto de $\sim$ -clases. Claramente $U=\bigcup_{I \in \mathscr{I}} I$ . Para cada $I\in\mathscr{I}$ elegir un racional $q_I\in I$ el mapa $\mathscr{I}\to\Bbb Q:I\mapsto q_I$ es inyectiva, por lo que $\mathscr{I}$ es contable.

Una variante de la misma idea básica es dejar que $\mathscr{I}$ sea el conjunto de intervalos abiertos que son subconjuntos de $U$ . Para $I,J\in\mathscr{I}$ definir $I\sim J$ si hay $I_0=I,I_1,\dots,I_n=J\in\mathscr{I}$ tal que $I_k\cap I_{k+1}\ne\varnothing$ para $k=0,\dots,n-1$ . Entonces $\sim$ es una relación de equivalencia en $\mathscr{I}$ . Para $I\in\mathscr{I}$ dejar $[I]$ sea el $\sim$ -clase de $I$ . Entonces $\left\{\bigcup[I]:I\in\mathscr{I}\right\}$ es una descomposición de $U$ en intervalos abiertos disjuntos.

Ambos argumentos se generalizan a cualquier LOTS (= Espacio Topológico Linealmente Ordenado), es decir, a cualquier conjunto linealmente ordenado $\langle X,\le\rangle$ con la topología generada por la subbase de rayos abiertos $(\leftarrow,x)$ y $(x,\to)$ : si $U$ es un subconjunto abierto no vacío de $X$ entonces $U$ es la unión de una familia de intervalos abiertos disjuntos. En general, la familia no tiene por qué ser contable, por supuesto.

Answer 2

Todas estas respuestas parecen ser variaciones de una a otra, pero hasta ahora he encontrado cada una de ellas al menos un poco críptica. Aquí está mi versión/adaptación.

Dejemos que $U \subseteq R$ sea abierto y deje que $x \in U$ . O bien $x$ es racional o irracional. Si $x$ es racional, defina \begin {align}I_x = \bigcup\limits_ { \substack {I \text {un intervalo abierto} \\ x~ \in ~I~ \subseteq ~U}} I, \end {alinear} que, como unión de intervalos abiertos no disjuntos (cada uno $I$ contiene $x$ ), es un subconjunto de intervalos abiertos a $U$ . Si $x$ es irracional, por la apertura de $U$ hay $\varepsilon > 0$ tal que $(x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U$ , y existe un racional $y \in (x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq I_y$ (según la definición de $I_y$ ). Por lo tanto, $x \in I_y$ . Así que cualquier $x \in U$ está en $I_q$ para algunos $q \in U \cap \mathbb{Q}$ y así \begin {align}U \subseteq \bigcup\limits_ {q~ \in ~U \cap ~ \mathbb {Q}} I_q. \end {align} Pero $I_q \subseteq U$ para cada $q \in U \cap \mathbb{Q}$ por lo tanto \begin {align}U = \bigcup\limits_ {q~ \in ~U \cap ~ \mathbb {Q}} I_q, \end {alinear} que es una unión contable de intervalos abiertos.

Answer 3

En un espacio localmente conectado $X$ Todos los componentes conectados de los conjuntos abiertos son abiertos. De hecho, esto equivale a ser localmente conectado.

Prueba: (en una dirección) dejemos que $O$ sea un subconjunto abierto de un espacio localmente conectado $X$ . Sea $C$ sea un componente de $O$ (como un (sub)espacio en sí mismo). Sea $x \in C$ . Entonces dejemos que $U_x$ sea una vecindad conexa de $x$ en $X$ tal que $U_x \subset O$ que se puede hacer como $O$ está abierto y los barrios conectados forman una base local. Entonces $U_x,C \subset O$ están conectadas y se cruzan (en $x$ ) por lo que su unión $U_x \cup C \subset O$ es un subconjunto conexo de $O$ que contiene $x$ por lo que por maximalidad de componentes $U_x \cup C \subset C$ . Pero entonces $U_x$ testigos que $x$ es un punto interior de $C$ y esto muestra todos los puntos de $C$ son puntos interiores, por lo que $C$ está abierto (en cualquiera de los dos casos $X$ o $O$ , eso es equivalente).

Ahora $\mathbb{R}$ es localmente conexo (los intervalos abiertos forman una base local de conjuntos conexos) y, por lo tanto, todo conjunto abierto si una unión disjunta de sus componentes, que son subconjuntos conexos abiertos de $\mathbb{R}$ por lo que son intervalos abiertos (potencialmente de "longitud" infinita, es decir, segmentos). El hecho de que haya un número contable de ellos, como máximo, se deduce del argumento ya dado de "racional en cada intervalo".

Answer 4

Dejemos que $U\subseteq\mathbb R$ abierto. Es suficiente con escribir $U$ como una unión disjunta de intervalos abiertos.
Para cada $x\in U$ definimos $\alpha_x=\inf\{\alpha\in\mathbb R:(\alpha,x+\epsilon)\subseteq U, \text{ for some }\epsilon>0\}$ y $\beta_x=\sup\{\beta\in\mathbb R:(\alpha_x,\beta)\subseteq U\}$ .

Entonces $\displaystyle U=\bigcup_{x\in U}(\alpha_x,\beta_x)$ donde $\{(\alpha_x,\beta_x):x\in U\}$ es una familia disjunta de intervalos abiertos.

Answer 5

Una variante de la prueba habitual con la relación de equivalencia, que intercambia la facilidad de construir los intervalos con la facilidad de demostrar la contabilidad (no es que ninguna de las dos cosas sea difícil...):

1. Definir la misma relación de equivalencia, pero sólo en $\mathbb Q \cap U$ : $q_1 \sim q_2$ si $(q_1, q_2) \subset U$ (o $(q_2, q_1) \subset U$ (lo que tenga sentido).
2. De cada clase de equivalencia $C$ , producen el intervalo abierto $(\inf C, \sup C) \subset U$ (donde $\inf C$ se define como $-\infty$ por si acaso $C$ no está acotado por debajo, y $\sup C = \infty$ por si acaso $C$ no está acotado por arriba).
3. La cantidad de clases de equivalencia es claramente contable, ya que $\mathbb Q \cap U$ es contable.