Demostrar que la ecuación de $x^2-y^2 = 2002$ no tiene ninguna solución entera

Question

Demostrar que la ecuación de $x^2 − y^2 = 2002$ no tiene ningún entero solución.

Si yo tuviera la ecuación de $x^3 - 7y = 3$ lo haría fácilmente a la conclusión de que para cualquier entero solución, a continuación, $$x^2\equiv3\pmod 7$ $ debe de ser verdad.

Aplicando la misma lógica, sé que eso $x² = y^2 +2002$, por lo que puedo concluir que para cualquier entero solución, a continuación, $$x^2\equiv2002\pmod y$ $ debe de ser verdad.

Es esta conclusión correcta?

Desde que la congruencia puedo demostrar que la ecuación no tiene entero solución sin mucho problema, pero no estoy seguro de si el que la congruencia es válido.

Answer 1

Una forma de solucionar esto es mirar $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$. Entonces para entero $x,y$, puesto que es $2002$, $(x+y),(x-y)$ hay que ser aún, pero desde $2002/2=1001$, el otro debe ser impar. Eso significaría $(x+y)+(x-y)=2x$ también es impar, lo que contradice la existencia de soluciones del número entero.

Answer 2

Sugerencia:

$a\equiv0,1,2,3\pmod4, a^2\equiv0,1$

O

$x+y+(x-y)$ incluso, $x+y, x-y$ tienen la misma paridad

Answer 3

Responder a este no requiere de avanzados conocimientos matemáticos.

1     4     9     16     25  
   3     5     7      9

La diferencia entre cada cuadrado es un número impar, y desde 2002 es par, entonces y debe ser un número par menor que x. Por lo tanto, para que exista un entero solución tenemos que expresar 2002 como la suma de un número par de números impares consecutivos.

3 + 5                   = 8            
3 + 5 + 7 + 9           = 24
    5 + 7               = 12     
    5 + 7 + 9 + 11      = 32
        7 + 9           = 16           
        7 + 9 + 11 + 13 = 40 

Estas secuencias.de sumas puede ser Escrito como 4n+4 y 8n+16, respectivamente, que podemos escribir como 4 (n+1) y 4(2n+4)

Y así sucesivamente. La secuencia de la suma de 6 y 8 y todos los otros número de consecutivo de números impares, también será capaz de ser Escrito como 4(kn+k^2) donde k es la mitad de la cantidad de impares consecutivos números se están sumando. 2002 no es divisible por 4, por Lo que sea k o n no debe ser un número entero, lo que significa que no hay ningún número entero de soluciones.

Por lo tanto

Todos, incluso los números no divisibles por 4 no puede ser Escrito como la diferencia entre dos cuadrados

Answer 4

Dado que la n, a y b son elementos de N, vamos a n = a*b. (Si n es primo, entonces n puede escribirse como n*1 = 1*n; si n no es primo, entonces, por definición, n tiene al menos dos divisores.)

n = ab

n = 0 + 4ab/4 + 0

0 = (a^2-a^2)/4 y 0 = (b^2-b^2)/4

n = (a^2-a^2)/4 +(2ab+2ab)/4 + (b^2-b^2)/4

n = (a^2 - a^2 + 2ab + 2ab + b^2 + b^2 - b^2)/4

la reorganización y reagrupamiento, obtenemos n = (a^2 + 2ab + b^2)/4 - (a^2 - 2ab + b^2)/4

simplificando, obtenemos n = ((a+b)/2)^2 - ((a-b)/2)^2

n = c^2 - d^2

n puede ser escrito como la diferencia de dos números c y d. C y d son miembros de los números naturales cuando a y b son impares o cuando a y b son incluso. Cuando n es divisible por 2, pero no por 4. c^2 y d^2 debe tener la forma (4m+2)/4 y por lo tanto no pueden ser miembros de N.

En este caso específico, los divisores de 2002 son 2, 7, 11 y 13. Cualquiera de las soluciones posibles de a y b debe ser hecha con una combinación de estos números primos. Desde 2002 es divisible por 2 y no por 4, las soluciones de a y b debe ser de la forma SQRT[(4m+2)/4] que es igual a la RAÍZ cuadrada de[m + .5], que, lamentablemente, no es un elemento de N.

Answer 5

Simplemente pensé que debo mencionar si usted toma modulo $y$ y deseche la ecuación original, entonces dejará de darle una prueba espectacular, porque $x^2 \equiv 2002 \pmod{x^2-2002}$ y no tiene ninguna información acerca de $y$ a restringirlo.