La primera cosa que usted debe entender es que "menos de lo que algunos $\epsilon$" no se corte. Usted no puede escoger a $\epsilon$ — será dado a usted, y puede ser cualquier número positivo alguno. Usted debe estar preparado para producir $\delta>0$ (basado en el $\epsilon$) de tal manera que la implicación
$$\mu(E)<\delta \implies \int_E |f|\,d\mu<\epsilon \tag{goal}$$
se mantenga.
Vamos a empezar con algo fácil.
Caso fácil: $f$ es acotado, es decir, no es un número $M$ tal que $|f|\le M$ (casi en todas partes). Entonces
$$\int_E |f|\,d\mu \le \int_E M\,d\mu = M\,\mu(E) < M\delta \tag1$$
Desde que se quiera acabar con "$\int_E |f|\,d\mu<\epsilon$", el derecho de elección de $\delta$$\delta=\epsilon/M$. Ahora usted está preparado para el reto: no importa lo $\epsilon$ alguien lanza en usted, usted elige $\delta=\epsilon/M$ y (meta) se consigue.
Caso General. Si $f$ es no acotada, podemos introducir una limitada función en consideración, a saber, $|f|_M(x)=\min(|f(x)|,M)$ (aquí se $M$ es nuestro para elegir). Esto se llama el truncamiento de $|f|$ en el nivel $M$: si no veo por qué, la imagen de los gráficos de $|f|$ e de $|f|_M$.
Cómo lidiar con $|f|_M$ es más o menos claro (el caso fácil). Qué hacer con el resto, es decir,$|f|-|f|_M$? Resulta que por la elección de $M$ suficientemente grande, podemos hacer $\int_{\mathbb R} (|f|-|f|_M)\,d\mu$ es tan pequeño como se desee (puedo dar una sugerencia a continuación). Así, la estrategia es:
- Pick $M$, de modo que $\int_{\mathbb R} (|f|-|f|_M)\,d\mu<\epsilon/2$.
- Pick $\delta = (\epsilon/2)/M$; esto asegura que $\int_E |f|_M\,d\mu<\epsilon/2$.
Prometió ayuda: desde $|f(x)|=\lim_{M\to\infty} |f(x)|_M$ para casi todas las $x$, por el teorema de convergencia monótona $$\int_{\mathbb R} |f| = \lim_{M\to\infty}\int_{\mathbb R} |f|_M\,d\mu $$
