Esta pregunta es sobre el espacio de todas las topologías en un conjunto fijo X. se puede ordenar las topologías mediante el refinamiento, por lo que que τ ≤ σ sólo en caso de que cada τ conjunto abierto es abierto en σ. Equivalentemente, podemos decir en este caso que τ es más grueso que σ, que σ es más fino que τ o que σ refina τ. (Ver wikipedia en la comparación de topologías.) El menor elemento de este orden es la topología indiscreta y el más grande de la topología es la topología discreta.
Uno puede mostrar que la colección de todas las topologías en un conjunto fijo es un completo entramado. En sentido descendente, por ejemplo, la intersección de cualquier colección de topologías en X sigue siendo una topología sobre X, y esta intersección es el más grande de la topología de la figura en todos ellos. Del mismo modo, la unión de cualquier número de topologías genera un menor topología que contiene la totalidad de ellos (por el cierre de bajo finito intersecciones arbitrarias y sindicatos). Por lo tanto, la colección de todas las topologías en X es una completa celosía.
Tenga en cuenta que el pacto topologías se cerró a la baja en este entramado, ya que si una topología τ tiene menos abrir conjuntos de y σ σ es compacto, entonces τ es compacto. Del mismo modo, el Hausdorff topologías están cerradas hacia arriba, ya que si τ es Hausdorff y que figuran en el σ, entonces σ es Hausdorff. Por lo tanto, el pacto topologías habitan la parte inferior de la celosía y el Hausdorff topologías de la la parte de arriba.
Estas dos colecciones se besan en el pacto Hausdorff topologías. Además, estos besos puntos, el compacto de Hausdorff topologías, forma un antichain en el celosía: no hay dos de ellos son comparables. Para ver esto, supongamos que τ subconjunto σ son a la vez compacto Hausdorff. Si U es abierto con respecto a σ, entonces el complementar C = X - U es cerrado con respecto a σ y por lo tanto compacto, con respecto a σ en el subespacio topología. Por lo tanto C es también compacto, con respecto a τ en la topología de subespacio. Desde τ es Hausdorff, este implica (un elemental ejercicio) que C es cerrado con respecto a τ, y por lo que U es en τ. Así τ = σ. Por lo tanto, no hay dos distintos compacto Hausdorff topologías son comparables, y por lo que estas topologías se extienden hacia los lados, formando un antichain de la red.
Mi primera pregunta es, el compacto de Hausdorff topologías forma una máxima antichain? De manera equivalente, es cada topología comparable con un compacto Hausdorff topología? [Edit: François señala un fácil contraejemplo en los comentarios de abajo.]
Una versión más débil de la pregunta es simplemente si cada una de las compacto topología es refinado por un compacto Hausdorff topología, y del mismo modo, si cada una de Hausdorff topología refina un compacto Hausdorff topología. En virtud de lo circunstancias es un compacto de la topología de refinado por una única compacto Hausdorff topología? ¿Bajo qué circunstancias se hace un Hausdorff topología de refinar un único compacto de Hausdorff topología?
¿Qué otras características topológicas además de un diseño compacto y Hausdorffness han iluminando la interacción con este celosía?
Por último, ¿qué tipo de celosía propiedades de la celosía de topologías de exhibición? Por ejemplo, la celosía ha átomos, ya podemos formar el casi-topología indiscreta tener sólo un trivial conjunto abierto (y cualquier subgrupo no trivial va a hacer). De ello se desprende que cada topología es la menos superior obligado de los átomos debajo de ella. El entramado de las topologías es complementa. Pero el entramado no es distributiva (cuando X tiene al menos dos puntos), ya que se incrusta N5 por el las topologías que implican {x}, {y} y la topología generada por {{x},{x,y}}.
