$n$ potencia de posets ccc

Question

Sabemos que es relativamente coherente con $\textbf{ZFC}$ que existe un poset ccc $\mathbb{P}$ tal que su cuadrado cartesiano $\mathbb{P} \times \mathbb{P}$ no es ccc.
En efecto, si $\mathbb{P}=T$ es un árbol de Suslin, entonces $T \times T$ no es ccc.

¿Es coherente con $\textbf{ZFC}$ que existe un poset ccc $\mathbb{P}$ tal que $\mathbb{P} \times \mathbb{P}$ es ccc pero el cubo $\mathbb{P} \times \mathbb{P} \times \mathbb{P}$ ¿no es ccc?
En términos más generales, ¿es coherente con $\mathrm{ZFC}$ que existe un poset $\mathbb{P}$ de forma que $n$ th-power $\mathbb{P}^n$ es ccc pero $\mathbb{P}^{n+1}$ no es ccc (para cada $1<n<\omega$ )?

Answer 1

Sí, es coherente.

• En

  Fred Galvin, Condiciones y productos de la cadena Fondo. Math. vol.108 (1980), pp.33-48, MR585558 , enlace .

  se demuestra que se cumple bajo $\mathsf{CH}$ .

  La idea básica de esta prueba es la siguiente. Para cualquier $K \subseteq [ \omega_1 ]^2$ defina $\mathbb{P}_K$ como la familia de todas las $K$ -subconjuntos homogéneos de $\omega_1$ ( es decir todos finitos $F \subseteq \omega_1$ tal que $[F]^2 \subseteq K$ ). Entonces $\mathbb{P}_K$ está parcialmente ordenado por $\subseteq$ . Además, se puede demostrar fácilmente que si $K,L$ son subseteq disjuntos de $[\omega_1]^2$ entonces $\mathbb{P}_K \times \mathbb{P}_L$ no es ccc.

  Galvin define un subconjunto $K \subseteq [\omega_1]^2$ ser gran siempre que $H_0 , \ldots , H_{n-1} \subseteq [ \omega_1 ]^2$ son tales que $K \subseteq \bigcap_{i < n} H_i$ entonces $\mathbb{P}_{H_0} \times \cdots \times \mathbb{P}_{H_{n-1}}$ es ccc. $\mathsf{CH}$ implica que hay $\aleph_0$ muchos (en realidad, $\aleph_1$ muchos) subconjuntos grandes disjuntos por pares de $[\omega_1]^2$ .

  Tomando grandes $K_0 , \ldots , K_n \subseteq [ \omega_1 ]^2$ para cada $i \leq n$ defina $H_i = \bigcup_{j \in (n+1) \setminus \{ i \}} K_j$ . Obsérvese que para cualquier $a \subseteq n+1$ tenemos que $\bigcap_{i \in a} H_i = \varnothing$ si $a = n+1$ . Entonces $\mathbb{P}_{H_0} , \ldots , \mathbb{P}_{H_n}$ son posets tales que para cualquier $a \subseteq n+1$ el producto $\prod_{i \in a} \mathbb{P}_{H_i}$ es ccc si $a \neq n+1$ .

  Entonces la suma $\mathbb{P} = \mathbb{P}_{H_0} \oplus \cdots \oplus \mathbb{P}_{H_n}$ tiene la propiedad de que $\mathbb{P}^n$ es ccc, pero $\mathbb{P}^{n+1}$ no lo es.

• En

  William G. Fleissner, Algunos espacios relacionados con desigualdades topológicas demostradas por el teorema de Erdős-Rado Proc. AMS vol.71 (1978), pp.313-320, MR0493930 , enlace

  se demuestra que esto se deduce tras añadir $\omega_1$ -muchos Cohen reales.

• En

  Stevo Todorcevic, Observaciones sobre las condiciones de la cadena en los productos . Compositio Math. vol.55 (1985), pp.295-302, MR0799818 , enlace

  también se demuestra que el resultado se mantiene después de añadir $\omega_1$ -muchos reales aleatorios.

En realidad, los dos últimos artículos arrojan resultados más contundentes: tras añadir $\kappa$ -muchos reales de Cohen o aleatorios (donde $\kappa$ tiene una cofinalidad incontable), para cada $n < \omega$ existe un poset $\mathbb{P}$ tal que $\mathbb{P}^n$ es ccc, pero $\mathbb{P}^{n+1}$ no es $\kappa$ -cc.