¿Cómo mostrar que el círculo de Varsovia es no contractible?

Question

El círculo de Varsovia se define como un subconjunto de $\mathbb{R}^2$ $$\left\{\left(x,\sin\frac{1}{x}\right): x\in\left(0,\frac{1}{2\pi}\right]\right\}\cup\left\{(0,y):-1\leq y\leq1\right\}\cup C\;,$$ donde $C$ es la imagen de una curva que conecta las otras dos piezas.

Un mapa desde el círculo de Varsovia a un espacio de un solo punto parece ser un ejemplo bien conocido que muestra que la equivalencia homotópica débil es realmente más débil que la equivalencia homotópica. Estoy tratando de ver por qué el círculo de Varsovia no es contractible. Parece razonable intuitivamente ya que los dos 'extremos' están conectados de alguna manera, pero no he podido encontrar una prueba. Cualquier pista sería apreciada. Muchas gracias.

Answer 1

Sea $W$ el círculo de Varsovia. Al colapsar la parte del intervalo en un punto, el espacio cociente es homeomórfico a $S^1$. Esto nos da un mapa $f:W\rightarrow W/{\sim} \cong S^1.

Afirmo que este mapa no es nulohomotópico. Creyendo esto por un segundo, notemos que para cualquier espacio contractible $X$, cualquier continua $f:X\rightarrow Y$ es nulohomotópica, así que esto mostrará que $W$ no es contractible.

Por lo tanto, supongamos que $f$ es nulohomotópica. Entonces podemos elevarla para obtener un mapa $\hat{f}:W\rightarrow \mathbb{R}$. Ahora, $f$ es 1-1, excepto en la parte del intervalo. Esto implica que la elevación es 1-1, excepto, quizás, en la parte del intervalo. Pero dado que la parte del intervalo es conectada y debe mapear en la fibra $\mathbb{Z}$ del mapa $\mathbb{R}\rightarrow S^1$, esto implica que $\hat{f}$ es 1-1, excepto que colapsa el intervalo a un punto.

Dicho de otra manera, $\hat{f}$ desciende a un mapa inyectivo en $W/{\sim}$. Como $W/{\sim}$ es homeomorfo a $S^1$, $\hat{f}$ da un mapa inyectivo de $S^1$ a $\mathbb{R}$. Pero usando el teorema del valor intermedio dos veces, es fácil ver que no existe un mapa continuo inyectivo de $S^1$ a $\mathbb{R}.

Answer 2

Su cohomología Cech es igual a $\mathbb Z$ en el grado $1$. Puedes verificar esto directamente, o podrías aplicar la Dualidad de Alexander (que relaciona la cohomología de Cech reducida con la homología reducida del complemento). En este caso, dado que el complemento tiene dos componentes conexas, la cohomología de Cech del círculo de Varsovia debe ser $\mathbb Z$ en el grado 1.

Answer 3

Sea $W$ el círculo de Varsovia y $C$ es el espacio como en la pregunta. Al colapsar $C$ a un punto, encontramos el mapa $f:W\rightarrow W/C \cong S^1$.

$\underline{Reclamación}$: f no es nula homotópica.

Si asumimos que la $\underline{Reclamación}$ es cierta, encontramos la tesis. De hecho, cualquier $f:X\rightarrow Y$ continua es nula homotópica si su dominio es contractible; por lo que esto mostrará que $W$ no es contractible.

Así que hemos terminado si demostramos la $\underline{Reclamación}$.

$\textit{Prueba}(\underline{Reclamación})$ Supongamos por absurdo que $f$ es nula homotópica. Sea $e:\mathbb{R}\to S^1:r\mapsto (cos2\pi r,sin2\pi r)$ el espacio de cobertura helicoidal habitual de $S^1$ y sea $H:W\times I\to S^1$ (con I el intervalo $[0,1]$) una homotopía entre $f$ y un mapa constante $c:W\to S^1:w\mapsto (0,1)$. Dado que $e$ es sobreyectiva, existe un levantamiento $c_0 :W\to \mathbb{R}$ de $c$ a lo largo de $e$. Ahora, dado que todo espacio de cobertura es una fibración de Hurewicz (ver Proposición 1.30 de Álgebra Topológica de Hatcher https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf), existe un levantamiento $H_0:W\times I\to \mathbb{R}$ de $H$ a lo largo de $e$ tal que $e\circ H_0=H$ y $c_0=i\circ H_0$ donde $i:W\cong W\times\{0\}\to W\times I$ es la obvia inclusión. En particular, $f_0(-):=H_0(-,1):W\to \mathbb{R} $ es un levantamiento de $f$ a lo largo de $e$.

Recordamos que $C$ es el espacio como en la pregunta. Sea $C$ el espacio como en la pregunta. El mapa $f_{|C}$ es inyectivo y la ecuación conmutativa $ f_{|C} =e \circ f_{0|C}$ implica que $f_{0|C}$ también es inyectivo. Además, $f_{0|W/C}$$ ~:W/C\to \mathbb{R}~$ tiene imagen en un componente conectado de $e^{-1}\{(0,1)\}~$, por lo que es un mapa constante. Por lo tanto, por la propiedad universal del cociente, $f_0$ define un mapa único, continuo e inyectivo $\hat{f}_0:S^1\cong W/C\to \mathbb{R}$. Aquí llegamos al absurdo ya que no existe tal mapa. De hecho, si por absurdo existe un mapa $\hat{f}_0$, entonces $Im(\hat{f}_0)$ es un subespacio compacto y conexo por caminos de $\mathbb{R}$ porque $S^1$ es un espacio compacto y conexo por caminos (con la topología de subespacio de $\mathbb{R}^2$). Pero un subespacio compacto y conexo de $\mathbb{R}$ es simplemente un intervalo cerrado y conexo por caminos de $\mathbb{R}$ $[a,b]$. Finalmente, encontramos este segundo absurdo ya que esto implica que $S^1$ es homeomorfo a un intervalo cerrado y conexo por caminos de $\mathbb{R}$ (es decir, $S^1\cong Im{\hat{f}_0}\cong [a,b]$): esto es imposible ya que $\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}\neq 0\cong\pi_{1}([a,b])$.