Encuentre el valor de $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{1+\left(\frac1{2n}\right)^n}$

Question

Encuentra el límite de la secuencia al acercarse $\infty$ $$\sqrt{1+\left(\frac1{2n}\right)^n}$$

Hice una tabla con los valores de la secuencia y los valores se acercan a 1, por lo que el límite es $e^{1/4}$ ?

Sé que si la respuesta es $e^{1/4}$ Tengo que tomar el $\ln$ de la secuencia, pero ¿cómo y dónde lo hago con la raíz cuadrada?

Hice un poco de trabajo consiguiendo la secuencia en una forma indeterminada y tratando de usar L'Hospitals pero no estoy seguro si es correcto y entonces donde ir desde allí. Aquí está el trabajo que he hecho

$$\sqrt{1+\left(\frac1{2n}\right)^n} = \frac1{2n} \ln \left(1+\frac1{2n}\right) = \lim_{x\to\infty} \frac1{2n} \ln \left(1+\frac1{2n}\right) \\ = \frac 1{1+\frac1{2n}}\cdot-\frac1{2n^2}\div-\frac1{2n^2}$$

Gracias

Answer 1

Tenemos $\lim_{n\to\infty} (1+\frac{x}{n})^n = e^x$ . Por lo tanto, $\lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{2n})^{2n} = e^x$ Entonces tomando raíces cuadradas (observando que la raíz cuadrada es continua en $[0,\infty)$ ), tenemos $\lim_{n \to \infty} \sqrt{(1+\frac{x}{2n})^{2n}} = \lim_n (1+\frac{x}{2n})^{n} = \sqrt{e^x} = e^\frac{x}{2}$ y finalmente $\lim_{n\to\infty} \sqrt{(1+\frac{x}{2n})^{n}} = e^\frac{x}{4}$ .

Configurar $x=1$ da el resultado deseado.

Answer 2

Una pista: $$ \left(1+\frac{1}{2n}\right)^n=e^{n\log\left(1+\frac1{2n}\right)}\sim e^{n\times \frac 1{2n}}=e^{\frac12} $$ ¿Cuál es el límite deseado?