Me gustaría ampliar la respuesta de Trevor Wilson. Base- $b$ La representación de los números enteros se basa en el hecho de que, para cualquier número entero no negativo $n$ hay un único representación de $n$ en la forma $$n = \sum_ {i=0}^ \infty a_ib^i$$ donde $0 \le a_i < b$ . Por ejemplo, cuando $b$ es 3, y $n$ es de 47, la solución única tiene $a_0 = 2, a_1 = 0, a_2 = 2, a_3 = 1, $ y $a_i = 0$ para todos $i>3$ . El $a_i$ se llaman la "base" $b$ dígitos de $n$ "; en nuestro ejemplo los 3 dígitos de la base de 47 son 1202 . Decimos que la secuencia de dígitos es una numeral y que representa el número $n$ .
La propiedad de unicidad significa que cada $n$ tiene exactamente una base $b$ representación. Si se requiere que la secuencia de $a_i$ es eventualmente cero (es decir, que $a_i = 0$ para todos los suficientemente grandes $i$ ) entonces lo contrario también se mantiene: cada secuencia de dígitos corresponde exactamente a una $n$ . De hecho, hay cuatro propiedades que se mantienen:
- Cada uno $n$ tiene al menos una representación
- Cada uno $n$ no tiene más de una representación
- Cada representación corresponde al menos a una $n$
- Cada representación corresponde a no más de un $n$
Es muy posible construir representaciones que carecen de algunas de estas propiedades. Por ejemplo, consideremos la representación de la base 3, pero eliminemos la restricción que dice que $0 \le a_i < 3$ . Entonces la propiedad 2 falla: El número 47 tiene muchas representaciones de la base 3: 502 por ejemplo, o 362 o 1 12 2 (aquí $a_1 = 12$ ), o incluso uno (más difícil de escribir) donde $a_0 = 47$ . Cada secuencia de dígitos sigue representando una sola $n$ pero un particular $n$ podría tener muchas representaciones como una secuencia de dígitos. A veces tales representaciones incluso tienen algún uso.
Algunas de estas propiedades son más importantes que otras. La propiedad 4, por ejemplo, es crucial, porque si no se mantiene, entonces hay alguna secuencia de dígitos que podrían representar dos números diferentes, y cuando la ves no sabes qué número se está representando. Tal sistema no puede ser llamado realmente un sistema de representación de números.
Del mismo modo, un sistema que no tiene la propiedad 1 tiene una utilidad limitada. Un sistema de este tipo puede representar algunos $n$ pero no todos.
Dependiendo de dónde y cómo falle, una representación puede ser más o menos útil. La notación de fracciones, por ejemplo, se utiliza universalmente para representar números racionales. Pero no tiene las propiedades 2 y 3. (Falla 2 ya que cada número racional tiene muchas representaciones, digamos como $ \frac12 , \frac24 , $ o $ \frac {120}{240}$ . Y falla 3 desde que $ \frac10 $ y $ \frac00 $ no representan ningún número racional). Pero estos fallos no impiden que sea útil como representación de números racionales. Un fallo más grave surge si se intenta hacer que las fracciones representen números reales; entonces falla la propiedad 1, ya que no hay representación de fracciones para el número $ \pi $ o $ \sqrt2 $ .
Ahora volvamos a $$n = \sum_ {i=0}^ \infty a_ib^i.$$ Dije que esta representación de números enteros no negativos tiene las cuatro propiedades, pero dejé de lado una limitación importante: las cuatro propiedades sólo se mantienen para $b \ge 2$ . Si $b=1$ la restricción $0 \le a_i<b$ degenera a $a_i=0$ y ya no podemos representar ningún número excepto el 0. Así que sólo el 0 tiene una representación de base 1. Como sistema numérico, esto es completamente inútil.
Si dejamos caer el $0 \le a_i<b$ restricción, obtenemos algo que difícilmente se asemeja a un sistema de representación en absoluto: Cada número $n$ ahora tiene muchas representaciones de la base 1. Por ejemplo, se podría escribir 5 como 14 o 32 o 1121 .
Así que, aunque es inconsistente, los matemáticos, y especialmente los informáticos, adoptan un significado diferente para "base" $1$ representación". Abandonan $ \sum a_ib^i$ completamente y están de acuerdo en representar el número $n$ como una secuencia de exactamente $n$ de los que Por ejemplo, $7$ se representa como 1111111 . Esto restaura las propiedades 1-4, por lo que es una representación sensata.
