¿Qué basaría $1$ ser?

Question

Base $10$ usa estos dígitos: $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\};\;$ base $2$ usos: $\{0,1\};\;$ pero ¿qué basaría $1$ ser?

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Digamos que definimos la base $1$ para usar: $\{0\}$ . Porque $10_2$ es igual a $010_2$ ¿todos los números serían iguales?

La forma en que he pensado que la Base 1 podría ser representada es con marcas de recuento, $0_{10}$ no estaría representado por nada. Así que.., $5$ en la Base 1 estaría representado por $00000$ ? O podríamos definir la Base 1 para usarla: $\{$ | $\}$ y $5$ sería |||||?

Answer 1

Tienes toda la razón en que tal sistema se representaría con el uso de marcas de recuento arbitrarias. Tal sistema se conoce como Sistema numérico unitario (Entrada en Wikipedia):

El sistema numérico unario es el sistema numérico de base 1 bijectivo. Es el sistema numérico más simple para representar los números naturales: para representar un número N, un símbolo elegido arbitrariamente que representa 1 se repite N veces. Este sistema se utiliza en el recuento. Por ejemplo, usando la marca de recuento |, el número 6 se representa como ||||||.

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No hay un símbolo explícito que represente el cero en el unario como en otras bases tradicionales, así que el unario es un sistema de numeración bijectivo con un solo dígito. Si hubiera un símbolo de "cero", el unario sería efectivamente un sistema binario. En un verdadero sistema unario no hay forma de representar explícitamente nada de algo, aunque el simple hecho de no hacer marcas lo representa implícitamente. Incluso en sistemas avanzados de conteo como los números romanos, no existe el carácter cero; en su lugar se utiliza la palabra latina para "nada", nullae.

Answer 2

Me gustaría ampliar la respuesta de Trevor Wilson. Base- $b$ La representación de los números enteros se basa en el hecho de que, para cualquier número entero no negativo $n$ hay un único representación de $n$ en la forma $$n = \sum_ {i=0}^ \infty a_ib^i$$ donde $0 \le a_i < b$ . Por ejemplo, cuando $b$ es 3, y $n$ es de 47, la solución única tiene $a_0 = 2, a_1 = 0, a_2 = 2, a_3 = 1,$ y $a_i = 0$ para todos $i>3$ . El $a_i$ se llaman la "base" $b$ dígitos de $n$ "; en nuestro ejemplo los 3 dígitos de la base de 47 son 1202 . Decimos que la secuencia de dígitos es una numeral y que representa el número $n$ .

La propiedad de unicidad significa que cada $n$ tiene exactamente una base $b$ representación. Si se requiere que la secuencia de $a_i$ es eventualmente cero (es decir, que $a_i = 0$ para todos los suficientemente grandes $i$ ) entonces lo contrario también se mantiene: cada secuencia de dígitos corresponde exactamente a una $n$ . De hecho, hay cuatro propiedades que se mantienen:

1. Cada uno $n$ tiene al menos una representación
2. Cada uno $n$ no tiene más de una representación
3. Cada representación corresponde al menos a una $n$
4. Cada representación corresponde a no más de un $n$

Es muy posible construir representaciones que carecen de algunas de estas propiedades. Por ejemplo, consideremos la representación de la base 3, pero eliminemos la restricción que dice que $0 \le a_i < 3$ . Entonces la propiedad 2 falla: El número 47 tiene muchas representaciones de la base 3: 502 por ejemplo, o 362 o 1 12 2 (aquí $a_1 = 12$ ), o incluso uno (más difícil de escribir) donde $a_0 = 47$ . Cada secuencia de dígitos sigue representando una sola $n$ pero un particular $n$ podría tener muchas representaciones como una secuencia de dígitos. A veces tales representaciones incluso tienen algún uso.

Algunas de estas propiedades son más importantes que otras. La propiedad 4, por ejemplo, es crucial, porque si no se mantiene, entonces hay alguna secuencia de dígitos que podrían representar dos números diferentes, y cuando la ves no sabes qué número se está representando. Tal sistema no puede ser llamado realmente un sistema de representación de números.

Del mismo modo, un sistema que no tiene la propiedad 1 tiene una utilidad limitada. Un sistema de este tipo puede representar algunos $n$ pero no todos.

Dependiendo de dónde y cómo falle, una representación puede ser más o menos útil. La notación de fracciones, por ejemplo, se utiliza universalmente para representar números racionales. Pero no tiene las propiedades 2 y 3. (Falla 2 ya que cada número racional tiene muchas representaciones, digamos como $\frac12 , \frac24 ,$ o $\frac {120}{240}$ . Y falla 3 desde que $\frac10$ y $\frac00$ no representan ningún número racional). Pero estos fallos no impiden que sea útil como representación de números racionales. Un fallo más grave surge si se intenta hacer que las fracciones representen números reales; entonces falla la propiedad 1, ya que no hay representación de fracciones para el número $\pi$ o $\sqrt2$ .

Ahora volvamos a $$n = \sum_ {i=0}^ \infty a_ib^i.$$ Dije que esta representación de números enteros no negativos tiene las cuatro propiedades, pero dejé de lado una limitación importante: las cuatro propiedades sólo se mantienen para $b \ge 2$ . Si $b=1$ la restricción $0 \le a_i<b$ degenera a $a_i=0$ y ya no podemos representar ningún número excepto el 0. Así que sólo el 0 tiene una representación de base 1. Como sistema numérico, esto es completamente inútil.

Si dejamos caer el $0 \le a_i<b$ restricción, obtenemos algo que difícilmente se asemeja a un sistema de representación en absoluto: Cada número $n$ ahora tiene muchas representaciones de la base 1. Por ejemplo, se podría escribir 5 como 14 o 32 o 1121 .

Así que, aunque es inconsistente, los matemáticos, y especialmente los informáticos, adoptan un significado diferente para "base" $1$ representación". Abandonan $\sum a_ib^i$ completamente y están de acuerdo en representar el número $n$ como una secuencia de exactamente $n$ de los que Por ejemplo, $7$ se representa como 1111111 . Esto restaura las propiedades 1-4, por lo que es una representación sensata.

Answer 3

No hay ninguna base $1$ y no hay un sistema de números unarios. Base $b$ requiere al menos dos símbolos de $0$ a $b - 1$ . Base $b$ no utiliza el dígito $b$ . Por ejemplo, la base $2$ no utiliza el dígito $2$ . Así que cualquier sistema que utilice el dígito $1$ no puede ser la base $1$ .

Las marcas de recuento son una representación tipográfica de números enteros, pero no son una "base", y mucho menos una "base 1".

La representación impresa de un número en una base tiene una longitud que es proporcional al logaritmo del número. En el sistema de marcas de recuento, la longitud es proporcional al número.

Las bases pueden representar fracciones. Por ejemplo, 1,11 en binario es uno y tres cuartos. Esto funciona gracias a los poderes negativos a la derecha del punto. Si multiplicamos uno y tres cuartos por dos, podemos simplemente mover el punto binario: 11.1. Por Dios, esto es tres y medio, exactamente a la derecha.

Lo mejor que el sistema de conteo puede hacer aquí es repararse con algún esquema en el que las marcas de conteo después de un punto representen una enumeración del conjunto de fracciones contables. Por ejemplo, .1 podría significar la mitad, .11 significa un tercio, .111 dos tercios, y así sucesivamente. Pero este esquema es fundamentalmente incompatible con lo que está a la izquierda del punto. Mover el punto no tiene un significado intuitivo.

El uso de por lo menos dos símbolos en las bases está relacionado con el campo de los números que tienen dos elementos: una identidad aditiva (cero) y una identidad multiplicativa (uno). El ingenuo sistema de marcas de recuento ignora este concepto de un campo con dos elementos de identidad, por lo que encalla a la hora de representar fracciones. Ni siquiera representa el cero, excepto quizás por medio de dejar un ambiguo espacio vacío desprovisto de recuentos para representar la nada.

Answer 4

Sí, la respuesta habitual es que los números están representados por "marcas de recuento" en la base 1. Sin embargo, el número 0 podría no ser la mejor elección de una marca de recuento porque si el 00000 se interpretara en la base 1 de forma análoga a su interpretación en otras bases, entonces se interpretaría como $0 \cdot 1^5 + 0 \cdot 1^4 + 0 \cdot 1^3 + 0 \cdot 1^2 + 0 \cdot 1^1$ que es 0 en lugar de 5.

Answer 5

Aunque muchos consideran que un sistema de conteo es un sistema de base 1, creo que esto confunde más de lo que aclara. Un sistema de conteo no es un sistema radix y no representa los números usando el mismo mecanismo. El sistema de recuento es simplemente una cadena cuya longitud representa el número (entero) en cuestión mientras que un número radix es una abreviatura de una serie de potencia.

Por lo tanto, dar a entender que cada uno de estos sistemas distintos tiene un atributo comparable conocido como su "base" es engañoso. Es como afirmar que un mazo de cartas y un trazador informático tienen cada uno una operación comparable llamada "empate".