¿Que R ser un anillo y A,B,C ser módulos R, si A⊕B≅A⊕C y A son simple (es decir, tiene exactamente dos submódulos), sigue que B≅C?
Creo que la conclusión sigue caso de B o C es completamente reducible, que mi pregunta es ¿sigue sin cualquier Asunción de reduciblity completa?
Gracias.
Evans, Cancelación Teorema De
Deje M ser una izquierda R módulo. Entonces si End(RM) tiene rango estable 1, M es cancelable directa sumas en la categoría de la izquierda R módulos.
En su caso, el endomorfismo anillo es un anillo de división, y lo que sin duda tiene rango estable 1.
El artículo original está aquí , pero usted puede encontrar esta encuesta de Lam igual de útil.
La más profundos y más generales de la declaración descrita por rschwieb es sin duda interesante, pero también hay una bastante elemental de la prueba para el caso particular en cuestión.
Supongamos A⊕B→A⊕C es un isomorfismo, con A sencillo. Componiendo con la proyección de A⊕C→A obtenemos una fracción de epimorphism φ:A⊕B→A cuyo núcleo es isomorfo a C.
Deje φ(a,b)=φA(a)+φB(b). Desde A es simple, hay dos posibilidades:
(1) φA es un isomorfismo. En este caso, el mapa de B→ker(φ) b↦(φ−1AφB(b),−b) es un isomorfismo. Por lo C≅B.
(2) φA=0. A continuación,ker(φ)=A⊕ker(φB), y desde φB es una división epimorphism, también se B≅A⊕ker(φB). Así que de nuevo B≅C.
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