Aunque yo no soy un experto, pero parece poco probable que, usted puede tener algo mejor, más elemental, de Urysohn del lema para lo que usted desea.
Incluso si es verdad que puede parecer que Urysohn del lexema es demasiado, porque lo que se da es el de separación de conjuntos cerrados y estás haciendo para la separación de los puntos.
Por otra parte, a primera vista, se puede demostrar fácilmente consecuencias como las siguientes. Si hay suficiente funciones continuas $f: X \longrightarrow [0,1]$
- los puntos separados (es decir, para cada par de puntos de $x,y \in X$ no es una función continua $f$ tal que $f(x)= 0$$f(y) = 1$), $X$ debe ser un espacio de Hausdorff. De hecho, $f^{-1}([0,1/2))$ $f^{-1}((1/2, 1])$ son distintos bloques abiertos, cointaining $x$$y$, respectivamente.
- los puntos separados de conjuntos cerrados (es decir, por cada punto de $x$ y cada conjunto cerrado $A \subset X$, $x \notin A$, existe una función continua tal que $f(x) = 0$ $f(a) =1$ todos los $a\in A$), $X$ debe ser regular. Un análogo de probar especial.
- para separar los conjuntos cerrados de conjuntos cerrados, a continuación, $X$ debe ser normal. Ídem.
En este contexto, la Urysohn del lema dice que, de hecho, la última consecuencia es una equivalencia; es decir, un espacio que es normal si y sólo si hay suficiente funciones continuas para separar conjuntos cerrados.
Así, una pregunta natural sería: ¿por Qué no hay análoga recíprocas implicaciones en los otros dos casos? Es decir, ¿por qué no tenemos Urysohn tipo de lemas para Hausdorff y regular espacios?
Bien, sé que al menos dos razones:
- En el caso de la regularidad, la separación de los puntos de conjuntos cerrados con funciones continuas es una condición más fuerte que la separación con bloques abiertos. Junto con el requisito de que el espacio de Fréchet, esto se llama completa regularidad. Hay ejemplos de regular los espacios que no son completamente normales; es decir, espacios donde se puede separar puntos de conjuntos cerrados con abrir sets, pero no con funciones continuas. Usted puede encontrar un ejemplo en el libro de Munkress (sección 5.2, ejercicio 6; véase también el ejemplo 1 después teorema 2.1 en la misma sección).
- No sé la situación de la condición de Hausdorff. [EDITAR. Ver Brian M. Scott comentarios: también hay una noción de "completamente Hausdorff".] Pero puedo decirle donde el estándar de la prueba de Urysohn del lema se descomponen con Hausdorff (o regular) espacios: la construcción de su separación de la función de un cierto límite de funciones de paso, que milagrosamente es continua. Comenzar con $f_0$ la función característica de su punto de $y$. A continuación encontrará un conjunto abierto $V$ tal que $x\in V \subset \overline{V} \subset X\backslash \{ y\}$ y definen $f_1$ como $0$ en $x$, $1/2$ en $V\backslash \{x\}$$1$$X\backslash V$. En los pasos siguientes, se introducen nuevos bloques abiertos en cada uno de inclusión $\{x\}\subset V $ $\overline{V} \subset X \backslash \{ y\}$ y definir el siguiente paso de la función de con $1/2^n$ de la altura de los pasos. El Hausdorff condición le da ese conjunto abierto $V$ aquí, pero la restricción sobre su clousure parece realmente necesario a fin de asegurar la continuidad de los límites de estas funciones de paso. Esto es desafortunado, porque, para los siguientes pasos, usted va a necesitar en general que, dado un conjunto cerrado $A$ ($\overline{V}$ que ya ha aparecido en el primer paso) y un conjunto abierto $U$ tal que $A \subset U$, existe un conjunto abierto $V$ tal que $A \subset V \subset \overline{V} \subset U$. Y usted puede hacer esto para cada una de dichas $A$ $U$ si y sólo si el espacio de $X$ es normal.
