Falacia de fracción continua: $1=2$

Question

Es fácil comprobar que para cualquier natural $n$ $$\frac{n+1}{n}=\cfrac{1}{2-\cfrac{n+2}{n+1}}.$$

Ahora,

$$1=\frac{1}{2-1}=\frac{1}{2-\cfrac{1}{2-1}}=\frac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-1}}}=\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-1}}}}=\ldots =\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\dots}}}}},$$

$$2=\cfrac{1}{2-\cfrac{3}{2}}=\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{4}{3}}}=\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{5}{4}}}}=\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{6}{5}}}}}=\ldots =\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}}}}.$$

Desde los lados de la parte derecha son la misma, por lo tanto $1=2$.

Answer 1

Una variante: tenga en cuenta que $$\color{red}{\mathbf 1}=0+\color{red}{\mathbf 1}=0+0+\color{red}{\mathbf 1}=0+0+\cdots+0+\color{red}{\mathbf 1}=0+0+0+\cdots$ $ y $$\color{green}{\mathbf 2}=0+\color{green}{\mathbf 2}=0+0+\color{green}{\mathbf 2}=0+0+\cdots+0+\color{\mathbf green}{2}=0+0+0+\cdots$ $ "ya que los lados de la mano derecha son lo mismo", esto demuestra que $\color{red}{\mathbf 1}=\color{green}{\mathbf 2}$.

Answer 2

Otro ejemplo donde los puntos son engañosos: $$1= \frac{ 1 \cdot \color{blue}{2} \cdot \color{green}{3} \cdot \color{red}{4} \cdots}{ 2 \cdot \color{blue}{3} \cdot \color{green}{4} \cdot \color{red}{5} \cdots} \leq \frac{1}{2}$ $

Answer 3

La primera expresión es una continuación de la fracción, la segunda no lo es. La continuación de la fracción es el límite de $$ a_0, a_0 + \frac{1}{a_1}, a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2}} \ldots $$ por un fijo de la secuencia de los números naturales $a_0, a_1, a_2 \ldots$

La segunda expresión es el límite de las fracciones que parecen similares a estas fracciones, pero que no corresponden a una secuencia definida de productos naturales. El primer lote de puntos (entre los iguales signos) están bien, que sólo significa 'tomar el límite de este proceso. Este límite existe y es igual a 2, como usted bien deducir. Los puntos en la parte inferior de la expresión final sugerir falsamente que el límite es la continuación de la fracción, con coeficientes dados por la obvia de la secuencia (por ejemplo, $2, 2, 2, 2, \ldots$ implica que la secuencia que consta de sólo dos años de edad).

Como @Hicieron señala muy elegante, las mismas reglas se aplican a infinitas sumas de dinero, y parece más obvio que hay - una infinita suma no es la misma, como el límite de una secuencia infinita de sumas, cada uno con más términos que la anterior. Los términos comunes que tienen que estar de acuerdo para cualquiera de las dos sumas.

Creo que esta confusión surge porque en algún momento de la iteración y límites que tenemos el sentido de que los primeros términos no importa realmente, y a veces esto es el caso. Los primeros términos de una secuencia no afecta al límite, el límite de la media, etc.

Usted está tomando dos diferentes términos y de forma iterativa, aplicar una transformación a ellos. Como usted señala, esta transformación no se realmente cambiar el número. Este hecho significa sin embargo, que el valor inicial nunca deja de ser importante, y las condiciones finales de cada expresión en su secuencia del mismo modo nunca llegar a ser de importancia.

Answer 4

Esta es una característica general de fracciones continuas. Lo que estamos haciendo es iterar la función $$ s(x) = \frac{1}{2-x} $$ ... así, por ejemplo, usted tiene que $$ 1 = s(1) = s(s(1)) = s(s(s(1))) = \cdots $$ y $$ 2 = s(3/2) = s(s(4/3)) = s(s(s(5/4))) = \cdots .$$

La función de $s$ tiene un único punto fijo en 1 (primera línea). Se sabe que la iteración $s$ desde cualquier punto de partida, excepto $x=2$ converge a 1 (creo que de $s$ como una asignación de la esfera de Riemann; toma $2 \mapsto \infty$$\infty \mapsto 0$). Para $x<1$, esto es fácil de comprobar: $x<s(x)<1$.

Por lo tanto, si $x\neq 2$, luego $$ \lim_{n \to \infty} s^n(x) = 1 , $$ donde $s^n(x)=s(s(\cdots s(x)))$ $n$th recorrer de $s$.

Pero si usted comienza con algunos $y$, siempre es posible encontrar una $x_n$, de modo que $s^n(x_n) = y$ (incluyendo $\infty$, el mapa es uno-a-uno). Se ha demostrado que la $$s^n\left(\frac{n+2}{n+1}\right) = 2.$$

Otra cosa buena de tener en cuenta aquí es que si los números al final de las fracciones ( $x_n$ ) no estaban aproximando a 1 de arriba, nos gustaría terminar con 1 -- $$ \lim_n s^n(x_n) \neq 1 $$ entonces $$ x_n \searrow 1 .$$

Answer 5

Este es del mismo tipo como los siguientes

$$0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots = 1 \; .$$

Hice el ejemplo es aún más simple y más cerca de los suyos en el espíritu.

En el trabajo con un número infinito de operaciones, usted tiene que ser muy cuidadoso acerca de cómo se realiza. Normalmente, se utiliza algún tipo de límite, pero entonces lo que hay que hacer es definir una secuencia finita pero un número cada vez mayor de operaciones. Cambiar algo en el orden de estas operaciones de cambio de todo límite. O en su caso, se le escapa el hecho de que en cada término de la secuencia, la última operación de restar un número diferente, $1$ en el primer caso, $(n+2)/(n+1)$ en el segundo.