Si $c = 0$ la forma paramétrica es obviamente $x = \sqrt { \frac {d}{a}} \cos (t), y = \sqrt { \frac {d}{b}} \sin (t)$ .
Cuando $c \neq 0$ el seno y el coseno deben ser desplazados en fase el uno del otro. ¿Cómo encuentro el desplazamiento angular y a partir de ahí cómo ajusto los factores que multiplican el seno y el coseno?
Si las coordenadas paramétricas de la elipse son $\left(x(t),y(t)\right) = (X \cos\varphi \cos(t)-Y \sin\varphi \sin(t), Y \cos\varphi \sin(t)+X \sin\varphi \cos(t)) $
A continuación, los parámetros $ X,Y,\varphi $ son $$ X =\pm \sqrt{\frac{2 d}{a+b+\sqrt{(a-b)^2+c^2}}} $$
$$ Y =\pm \sqrt{\frac{2 d}{a+b-\sqrt{(a-b)^2+c^2}}} $$
$$ \varphi = \frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{c}{a-b}\right) $$
Ejemplo:
$10 x^2+20 y^2-18 x y = 100$
Los coeficientes son ( $a=10$ , $b=20$ , $c=-18$ , $d=100$ )
Los coeficientes paramétricos son $(-1.008311 \cos(t)+3.973667 \sin(t), 1.713639 \cos(t)+2.338119 \sin(t))$ 
(Se supone que esto es un comentario a la respuesta de ja72, pero se hizo demasiado largo).
La respuesta de ja72 menciona la fórmula
$$\tan\,2\varphi = \frac{c}{a-b}$$
Considero que es un poco derrochador evaluar una arctangente y posteriormente pasarla como argumento de una unción trigonométrica mucho más tarde; para evitarlo, podemos utilizar la fórmula del ángulo doble para la tangente y la fórmula "Citardauq" en tándem para obtener la relación
$$\tan\,\varphi=\frac{c}{a-b+(\mathrm{sign}\,c)\sqrt{c^2+(a-b)^2}}$$
Denotando esta expresión como $t$ podemos sustituirlo por la matriz de rotación
$$\frac1{\sqrt{1+t^2}}\begin{pmatrix}1&-t\\t&1\end{pmatrix}$$
La respuesta de ja72 ya daba las fórmulas de los ejes; recuerda que $(p\sin\,u,q\cos\,u)$ y $(p\cos\,u,q\sin\,u)$ son la misma elipse atravesada de forma diferente, por lo que puedes rotar posteriormente cualquiera de las dos expresiones que elijas con la matriz de rotación que te di antes.
Completarías las casillas: $\left(a x + \frac{1}{2} c y\right)^2 + \left(a b - \frac{c^2}{4} \right) y^2 = a d$ .
Desde allí: $a x + \frac{c}{2} y = \sqrt{a d} \sin(t)$ y $\sqrt{a b - \frac{c^2}{4}} y = \sqrt{a d} \cos(t)$ , suponiendo que $c^2 < 4 a b$ y $a d > 0$ .
Resolver para $x$ y $y$ y denotando $\mathcal{D} = 4 a b - c^2$ $$ x(t) = \sqrt{\frac{d}{a}} \left( \sin(t) - \frac{c}{\sqrt{\mathcal{D}} } \cos(t) \right) \qquad y(t) = \frac{2 \sqrt{a d}}{\sqrt{\mathcal{D}}} \cos(t) $$
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