Voy a utilizar $\Phi_e(n)$ $\{e\}(n)$ utilizado por Saco en su libro.
Si $\delta$ es un constructiva límite ordinal, a continuación, $\delta$ tiene infinidad de anotaciones. Esto se desprende de la llamada "Relleno Lema" que afirma que toda función computable tiene infinitamente muchos índices, es decir, para cualquier $e$, existe una infinidad de $f$ tal que $\Phi_e = \Phi_f$.
Convencerse de que $\omega \cdot n$ $\omega \cdot \omega$ son constructivas ordinales.
Vamos a construir una secuencia de notaciones $(a_i)_{i \in \omega}$ tal que $a_i <_O a_{i + 1}$$|a_i| = \omega \cdot (i + 1)$. (El "+1" es sólo porque $\omega$ comienza con $0$.)
En primer lugar si $3 \cdot 5^{0} \in O$$|3 \cdot 5^e| \geq \omega$, entonces a partir de la $\omega$ es un límite constructivo ordinal tiene infinitamente muchos índices así, en particular, tiene una notación de $a_0$ tal que $a_0$ no $<_O$ comparable con $3\cdot 5^0$. (Puede que desee utilizar el Teorema 2.2 (iii) para justificar esto.) Si $3 \cdot 5^0 \notin O$ o $|3 \cdot 5^0| < \omega$, entonces no nos importa y solo deje $a_0$ ser cualquier notación de $\omega$.
Ahora supongamos que $a_n$ ha sido definido con las propiedades deseadas. $|a_n| = \omega(n + 1)$. Supongamos que $3 \cdot 5^{n + 1} \in O$ $|3 \cdot 5^{n + 1}| \geq \omega(n + 2)$ $a_i$ tal que para todo $i \leq n$, $3 \cdot 5^\omega \geq_O a_i$. Ahora elegir la notación $a_{n + 1}' = 3 \cdot 5^{f}$ (algunos $f \in \omega$) $\omega(n + 2)$ tal que $a_{n + 1}' = 3 \cdot 5^f$ no $<_O$ comparable con $3 \cdot 5^{n + 1}$. Mediante la modificación de la función computable $\Phi_f$ en un número finito de lugares, uno puede obtener un $\Phi_{g}$ tal que $\Phi_g(i) = a_i$ para todos los $i \leq n$, $\Phi_g$ de acuerdo con $\Phi_f$ para todos, pero un número finito de valores, $|3 \cdot 5^{g}| = \omega(n + 2)$, e $3 \cdot 5^{g}$ $<_O$ incomparable con $3 \cdot 5^{n + 1}$. Definir $a_{n + 1} = 3 \cdot 5^{g}$. (Tenga en cuenta que $\Phi_f$ necesitaba ser modificado finitely a la $\Phi_g$ a fin de garantizar que $a_{n + 1}$ es comparable con la anterior $a_i$'s.) Si la condición anterior, en $n + 1$ no está satisfecho, simplemente deje $a_{n + 1}$ ser cualquier notación para $\omega(n + 2)$.
De esta manera, hemos elaborado la secuencia deseada $(a_n)_{n \in \omega}$. Deje $Z$$\{u \in O : (\exists n)(u <_O a_n)\}$. Está claro que $Z$ es un camino. (Use el Teorema 2.2 iii si es necesario). Por construcción, es claro que $Z$ es de orden tipo de $\omega \cdot \omega$ que es constructivo y, por tanto,$\omega \cdot \omega < \omega_1^\text{CK}$.
Siendo para mostrar que $Z$ no puede ser continuado. Claramente $Z$ no tiene un elemento más grande. Por lo tanto si $Z$ puede ser continuado, debe existe un $e$ tal que $\Phi_e(n) <_O \Phi_e(n + 1)$ $z <_O 3 \cdot 5^{e}$ todos los $z \in Z$. Sin embargo, esto es imposible, porque la $a_{e}$ $<_0$ incomparable con $3 \cdot 5^e$ por la construcción. Por lo $Z$ es de la trayectoria deseada que puede no ser continua.
Tenga en cuenta que la idea principal es diagonalize contra todos computable en función de satisfacer Sacos 2.1 (2), pero usted tiene que añadir un poco de argumento para asegurarse de que el tipo de orden que no llegue a $\omega_1^\text{CK}$ y que la secuencia de $a_i < a_{i + 1}$.
