Un espacio topológico se llama separable si contiene un subconjunto denso contable. Se trata de una terminología estándar, pero me resulta difícil asociar el término a su definición. ¿Qué es la motivación para el uso de este término? ¿Es más vago, significaba para capturar cualquier imagen sugestiva o analogía que falto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En Srivatsan petición de que estoy haciendo mi comentario en una respuesta, incluso si tengo poco que añadir a lo que dije en el MO-hilo.
Como Qiaochu ponerlo en un comentario:
Mi entendimiento es que se trata de el caso especial de ℝ, donde significa que cualesquiera dos números reales pueden ser separados por, digamos, un número racional.
En mi respuesta en MO I se proporciona un enlace a Maurice Fréchet's papel Sur quelques puntos du calcul fonctionnel, Rend. Circ. Mat. Palermo 22 (1906), 1-74, y citó varios pasajes con el fin de apoyar ese punto de vista:
La importancia histórica de que el papel es (entre otras muchas cosas) que es el lugar donde la métrica de los espacios se introdujo formalmente.
Divisibilidad se define como sigue:
Amit Kumar Gupta de la traducción en un comentario en MO:
Ahora en adelante vamos a llamar a una clase separable si puede ser considerado en, al menos, de una manera como la derivada de un conjunto numerable de sus elementos.
Y he aquí el extracto de la que he citado en MO con algo más de contexto — aunque no es exactamente correcta, creo que es mejor para interpretar classe $(V)$ como espacio métrico en el siguiente:
Felix Hausdorff, en su magnum opus Mengenlehre (1914, 1927, 1934) escribió (p.129 de la edición de 1934):
Mi traducción libre:
El más simple y el más importante, el caso es que una contables conjunto es denso en $E$ [un espacio métrico]; $E = R_{\alpha}$ tiene más de la cardinalidad del continuo $\aleph_{0}^{\aleph_0} = \aleph$. Un conjunto en el que una contables conjunto es denso se llama separable, con un no exactamente muy sugerente pero ya término establecido por M. Fréchet. Un finito o separables conjunto es llamado en la mayoría de los separables.
