Subconjuntos cerrados $A,B\subset\mathbb{R}^2$ por lo que no se cierra que $A+B$

Question

Estoy en busca de subconjuntos cerrados $A,B\subset\mathbb{R}^2$ modo que $A+B$ no es cerrado.

Definir

$A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$

Pensé en este ejemplo, pero es sólo en $\mathbb{R}$. Tomar:

$A=\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{Z^+}\}\cup\{0\}$ and $B=\mathbb{Z}$

ambos están cerrados (esto es correcto?). Pero su suma $A+B=\mathbb{Q}$ que no está cerrada.

Answer 1

Es suficiente para encontrar un ejemplo en $\Bbb R$: si $A$ y $B$ son un ejemplo en $\Bbb R$, entonces el $A\times\{0\}$ y $B\times\{0\}$ son un ejemplo en $\Bbb R^2$.

Aquí es una gran sugerencia para $\Bbb R$. Que $A=\Bbb Z^+$ y $B=\left\{n+\frac1{n+1}:n\in\Bbb Z^+\right\}$. Mostrar que $A$ $B$ están cerradas, y que $B-A$ no es. (Puede ser de ayuda para hacer un bosquejo áspero de $A$ y $B$.) Ahora modifique el ejemplo ligeramente para conseguir un par de conjuntos cerrados cuya suma no está cerrada.

Answer 2

en el caso de $\mathbb R$:-$\mathbb Z$ está cerrada así que es $\mathbb a \mathbb Z$ donde una es número irracional, entonces no está cerrada la $\mathbb Z + a \mathbb Z$ $\mathbb R$ es un conjunto denso en $\mathbb R$

Answer 3

Para un ejemplo concreto en $\mathbb{R}^2$, que $A$ ser el epígrafe de $t \mapsto e^t$ (es decir. $A= \{ (t,y) \mid y \geq e^t \}$) y $B= [0,+ \infty) \times \{0\}$. Entonces $A+B= \mathbb{R} \times (0,+ \infty)$ no es cerrado.

Observe eso si $A$ o $B$ es limitado, entonces $A+B$ es necesariamente cerrado.

En efecto, supongamos que $B$ acotada (y tan compacto): Si el $(x_n+y_n)$ es una secuencia de $A+B$ convergen a un $z \in \mathbb{R}^2$, existe una subsquence $y_{\sigma(n)}$ convergen a un $y \in B$ por compacidad; por otra parte, converge $x_{\sigma(n)}$ $x=y-z \in A$ ($A$ está cerrado). Deducen que $z=x+y \in A+B$: $A+B$ es cerrado.

Answer 4

Que $A=\mathbb{Z}$ y $B=p\mathbb{Z}:=\{pn: n\in\mathbb{Z}\}$ $p$ Dónde está cualquier número irracional. Así $A$ y $B$ son dos subconjuntos cerrados de $\mathbb{R}$, pero no está cerrado $A+B :=\{m+pn: m,n\in\mathbb{Z}\}$ $\mathbb{R}$.

Answer 5

Sea $F=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : xy\geq 1\}$ el conjunto de puntos de $(x,y)$ que mienten sobre y por encima de la rama de hipérbola $xy=1$ en el primer cuadrante y C ser el eje y. entonces

$F+C=\{ (x,y):x>0\}$ que no está cerrada.

Ver la figura arriba en la primera imagen $F$ y $C$ ambos están cerrados pero en la segunda imagen $F+C$ no es cerrado.