Condiciones necesarias para $A=K+\operatorname{Ker}(\phi)$

Question

Consideremos el homomorfismo entre un campo $K$ y $A$ que está finitamente generada $K$ -(es decir, se puede escribir $K[x_1,...,x_n]$ ). Si $\phi: A \to K$ es un homomorfismo entre $K$ -¿se cumple siempre que $A=K+\operatorname{Ker}(\phi)$ ?

Nunca me he encontrado con esta regla, así que ¿cuáles son las condiciones suficientes para que se cumpla?

Answer 1

Para todos $a\in A$ podemos escribir $a=\underbrace{\phi(a)}_{\in\,K}+\underbrace{a-\phi(a)}_{\in\,\ker\phi}$ .

En términos más generales, si $\phi$ es un mapa suryectivo de $R$ y su restricción al subconjunto $S\subseteq R$ también es onto, entonces podemos escribir $R=S+\ker\phi$ por el mismo razonamiento. Una proposición similar es válida para los grupos, donde $\phi$ es suryectiva a partir de $G$ y también sobre restringido a un subconjunto $X\subseteq G$ entonces $G=X\ker\phi$ .