Asumir $f(x,y)$ se define en $D=[0,1]\times[0,1]$ y $f(x,y)$ es continua de cada variables independiente (es decir, si fijamos $y$ $y_0$ y $f(x,y_0)$ es continua y viceversa). Si $f(x,y)$ se desvanece en un subconjunto denso de $D$. ¿Hace $f$ desaparece en $D$?
Respuesta
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La respuesta es sí. Parece que esto fue demostrado por Sierpiński en 1932.
W. Sierpiński, Sur une propiedad de fonctions de dos variables réelles, continúa par rapport à chacune de variables, Publ. De matemáticas. Univ. Belgrado 1(1932), 125-128. http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/publ/1/8.pdf
Aquí Sierpiński prueba, traducido libremente al inglés, y el uso de su notación.
Deje $E$ ser denso en $[0,1]^2$. Supongamos $f$ es separadamente continua y se desvanece en $E$. Deje $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ ser arbitraria y corregir $\epsilon > 0$. Por separado continuidad a lo largo de $y=y_0$, existe un número $\delta_0$ que si $|x-x_0|\le \delta_0$$|f(x,y_0) - f(x_0, y_0)| < \epsilon$. Ahora de forma recursiva construir secuencias de $x_n, y_n, \delta_n$ como sigue. Dado $(x_{n-1}, y_{n-1}, \delta_{n-1})$, elija $(x_n, y_n) \in E$ tal que $|x_n - x_{n-1}| < \frac{1}{2} \delta_{n-1}$$|y_n - y_0| < \frac{1}{n}$; esto es posible por la densidad de $E$. Por separado continuidad a lo largo de $y=y_n$, elija $\delta_n$ tal que para todos los $x$ $|x-x_n| \le \delta_n$ tenemos $|f(x,y_n) - f(x_n, y_n)| < \epsilon$. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir también su $\delta_n < \frac{1}{2} \delta_{n-1}$. En particular, para cualquier $i \ge k$, $\delta_i \le 2^{-(i-k)} \delta_k$.
Ahora tenga en cuenta que para cualquier $n > k$, $$|x_n-x_k| \le \sum_{i=k}^{n-1} |x_{i+1} - x_{i}| \le \sum_{i=k}^\infty \frac{1}{2}\delta_{i} \le \frac{1}{2} \delta_k \sum_{i=k}^\infty 2^{-(i-k)} = \delta_k.$$
En particular, $x_n$ es de Cauchy, por lo que converge a algunos $\xi \in [0,1]$. Para cualquier $k$ tenemos $|x_n - x_k| \le \delta_k$ todos los $n > k$, por lo tanto, dejar $n \to \infty$ también contamos $|\xi - x_k| \le \delta_k$. Por lo tanto,$|f(\xi, y_k) - f(x_k, y_k)| < \epsilon$. Pero $(x_k, y_k) \in E$ $f(x_k, y_k) = 0$ y tenemos $|f(\xi, y_k)| < \epsilon$. Como $k \to \infty$ tenemos $y_k \to y_0$ así que por separado continuidad a lo largo de $x=\xi$ tenemos $f(\xi, y_k) \to f(\xi, y_0)$. Por lo tanto $|f(\xi, y_0)| \le \epsilon$. Desde $|\xi - x_0| \le \delta_0$,$|f(\xi, y_0) - f(x_0, y_0)| < \epsilon$. Así que tenemos $|f(x_0, y_0)| < 2\epsilon$. Desde $\epsilon$ era arbitraria, llegamos a la conclusión de $f(x_0, y_0) = 0$.
A mí me parece que la prueba iba a ir a través de sin cambiar si queremos reemplazar $[0,1]^2$ $X \times Y$ donde $X,Y$ son espacios métricos y al menos uno de ellos es completa. También podemos sustituir el codominio $\mathbb{R}$ por cualquier espacio métrico $Z$.
No sé qué sucede si no $X$ ni $Y$ es completa. También sería interesante preguntarse ¿qué sucede para obtener más general de espacios topológicos.
