Lo difícil es encontrar un pequeño claro punto redondo en una hoja grande contaminada por al azar puntos sucios

Question

El problema surgió después de una discusión de por qué la mayor cámara digital de fotos de los sensores es mucho más caro que poco más pequeños, y la razón fue dado a que es debido a la dificultad de encontrar un área más grande lugar en un gran CCD o CMOS de panel.

Considere la posibilidad de un gran blanco de la hoja (de una determinada área de $S$, y podemos considerar que de cualquier conveniente no degenerada forma, tales como cuadrado o un círculo) con un poco de negro de suciedad puntos en él. La densidad media de la tierra puntos es uniforme y conocida para ser $p$ puntos por unidad de área. Alguien quiere encontrar una clara ronda de spot de radio de $r$.

Pregunta 1: ¿qué tan difícil es encontrar un lugar (y el término "difícil" tal vez se define como "la probabilidad de que un azar del disco que se está claro?"). ¿Cuántos de esos que no se solapan los puntos hay en la hoja en promedio?

Pregunta 2: ¿cuánto más difícil es encontrar un spot de radio de $k\cdot r$ $k \gt 1$ de un spot de radio de $r$?

Al $S\gg s=\pi r^2$, esto se ve fácil, pero cuando se $S$ es comparable a $s$, el resultado no es tan evidente.

Answer 1

Voy a responder a la primera parte de la Pregunta 1. Yo creo que la segunda parte de la Pregunta 1 es probablemente intratable analíticamente; y la Pregunta 2 es simplemente un caso especial de la primera parte de la Pregunta 1.

El número de puntos en cualquier área es de Poisson-distribuido. En un punto del área de $s$, con una densidad de puntos $p$, se espera que el número de puntos es $ps$, por lo que la distribución de Poisson es dada por

$$p(n) = \frac{(ps)^n\mathrm e^{-ps}}{n!}\;.$$

La probabilidad de que el lugar que está claro es $p(0)=\mathrm e^{-ps}$. Por lo tanto, la razón dada era la correcta; encontrar una mancha clara se vuelve exponencialmente difícil con la mancha del área de $s$.