$ \int_{0}^{2} (2x - x^2)^n dx $ relación de recurrencia

Question

Dado

$$ I_n = \int_{0}^{2} (2x - x^2)^n dx $$

1. Calcula $I_2$

Simplemente lo amplié en $$ \int_0^2 4x^2 - 4x^3 + x^4 dx $$

y lo calculó.

2. Demuestra que

$$ (2n+1)I_n = 2nI_{n-1} $$

Primero intenté hacer la integración por partes escribiéndola como $ \int_0^2 (x)' (2x-x^2)^n dx$ pero eso no llevó a ninguna parte y también intenté dividirlo en $\int_0^2 (2x+x^2)^{n-1} (2x+x^2) dx$ y eso tampoco funcionó. ¿Cómo lo hago?

3. Calcula $$ \lim_{n \rightarrow \infty} I_n $$

Answer 1

Tenemos

$$I_n=\int_0^2(x)'(2x-x^2)^ndx=\underbrace{x(2x-x^2)^n\Bigg|_0^2}_{=0}-2n\int_0^2(x-x^2)(2x-x^2)^{n-1}dx\\=-2n\underbrace{\int_0^2(2x-x^2)(2x-x^2)^{n-1}dx}_{=I_n}+n\underbrace{\int_0^2(2x-2)(2x-x^2)^{n-1}dx}_{=0}+2n\underbrace{\int_0^2(2x-x^2)^{n-1}dx}_{=I_{n-1}}$$

Answer 2

Como alternativa, si conoce la función beta de Euler, utilice $x=2u$ y simplemente escribir $$ I_n =\int_0^2 (2x-x^2)^n dx = 2 \cdot 4^n \int_0^1 (u-u^2)^n du = 2 \cdot 4^n \int_0^1 u^n (1-u)^n du = 2 \cdot 4^n \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} $$ Es fácil verificar su relación entre $I_n$ y $I_{n-1}$ de allí.

Answer 3

Puede reescribir $$I_n = \int_0^2 (2x-x^2)^n\, dx = \int_{-1}^1 (1 - x^2)^n\,dx = 2\int_0^1(1-x^2)^n\, dx = 2\int_0^{\pi/2} \sin^{2n+1}t\, dt$$

si integramos

$\begin{align} J_n &= \int_0^{\pi/2} \sin^{2n+1}t\, dt \\ &= \int_0^1 \sin^{2n} t \sin t \,dt\\ &= -\sin^{2n} t \cos t |_0^{\pi/2} + 2n\int_0^1 sin^{2n-1} t \cos^2 t \,dt\\ &= 2n\int_0^1 sin^{2n-1} t (1-\sin^2 t )\,dt\\ &= 2nJ_{n-1} - 2nJ_{n} \end{align}$

por lo que tenemos las relaciones de recurrencia $$(2n+1)J_n = 2nJ_{n-1}, (2n+1)I_n = 2nI_{n-1}$$