Integral que implica la función de error de log(x)

Question

Buscando una forma cerrada para la integral

$$\int_0^{\infty } e^{-\left(\frac{a-\log (x)}{b}\right)^2} \left(\frac{1}{2} \text{erf}\left(\frac{a-\log (x)}{b}\right)+\frac{1}{2}\right) \, \mathrm{d}x,$$ donde erf es la función de error $erf (z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int _0^ze^{-t^2}\mathrm{d}t.$

He probado todo tipo de trucos, sin éxito.

Answer 1

Su integral admite una forma cerrada.

Teorema. Dejemos que $a$ y $b$ sean números reales cualesquiera. Entonces

$$\int_0^{\infty }\!\! e^{\large-\left(\frac{a-\log x}{b}\right)^2}\!\! \left(\text{erf}\left(\frac{a-\log x}{b}\right)+1\right) \mathrm{d}x=\sqrt{\pi}\:|b|\:e^{{\large {a+\frac{b^2}{4}}}}\left(1-\text{erf}\!\left(\! \frac{\sqrt{2}\:b}{4}\!\right)\! \right) \tag1$$

donde $\displaystyle \text{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int _0^ze^{\large-t^2}\mathrm{d}t.$

Prueba. Denotemos el lado izquierdo de $(1)$ por $I(a,b)$ .

Por el cambio de variable $$\displaystyle U:=\frac{a-\log x}{b}, \quad dx=-b\:e^a \:e^{-b U}dU,$$ tenemos $$ \begin{align} I(a,b)&=|b|\:e^a \int_{-\infty }^{+\infty } e^{\large-U^2-bU} \left(\text{erf}\left(U\right)+1\right) \mathrm{d}U\\\\ &=|b|\:e^a \int_{-\infty }^{+\infty } e^{\large-U^2-bU} \text{erf}(U)\: \mathrm{d}U+|b|\:e^a \int_{-\infty }^{+\infty } e^{\large-U^2-bU} \mathrm{d}U \tag2 \end{align} $$ Claramente, por la integral gaussiana: $$ \int_{-\infty }^{+\infty } e^{\large-U^2-bU} \mathrm{d}U =e^{\large b^2/4}\int_{-\infty }^{+\infty } e^{\large-(U+b/2)^2} \mathrm{d}U =\sqrt{\pi}\:e^{ b^2/4} .\tag3 $$ Establecer $$ f(b):=\int_{-\infty }^{+\infty } e^{\large-U^2-bU} \text{erf}(U)\: \mathrm{d}U \tag4 $$ y observar que $$ f(0)=\frac{\sqrt{\pi}}{4}\left[(\text{erf}(U))^2\right]_{-\infty }^{+\infty }=0. \tag5$$ Diferenciando $(4)$ con respecto a $b$ y realizando una integración por partes se obtiene $$ \begin{align} f'(b)&=-\int_{-\infty }^{+\infty } U\:e^{\large-U^2-bU} \text{erf}(U)\:\mathrm{d}U\\\\ f'(b)&=\left[\frac 12 e^{\large-U^2}\left(e^{\large-bU} \text{erf}(U)\right)\right]_{-\infty }^{+\infty }-\frac 12\int_{-\infty }^{+\infty } e^{\large-U^2} \left(-b\:e^{\large-bU} \text{erf}(U)+\frac{2}{\sqrt{\pi }}e^{\large-bU}e^{\large-U^2}\right)\mathrm{d}U\\\\ f'(b)&=\frac{b}{2}f(b)-\frac{1}{\sqrt{\pi }}\int_{-\infty }^{+\infty } e^{\large-2U^2-bU}\mathrm{d}U \end{align} $$ o $$ f'(b)=\frac{b}{2}f(b)-\frac{\sqrt{2}}{2}\:e^{\large b^2/8}. \tag6 $$ Resolvemos clásicamente la EDO $(6)$ , utilizando $(5)$ para obtener $$ f(b)=-\sqrt{\pi }\:e^{\large b^2/4}\text{erf}\!\left(\! \frac{\sqrt{2}\:b}{4}\!\right) \tag7 $$ y luego enchufar $(7)$ , $(4)$ y $(3)$ en $(2)$ da $(1)$ como se desee.