Relación de equivalencia para que un grupo sea conmutativo

Question

Hace un tiempo me preguntaba si hay una forma "natural" de hacer un grupo conmutativo a partir de uno arbitrario. Jugué un poco con la idea y esto es lo que se me ocurrió.

Definir una relación binaria $\sim$ en un grupo $G$ tal que $x \sim y$ si $\exists a, b \in G$ tal que $ab=x$ y $ba=y$ .

Es bastante fácil demostrar que se trata de una relación de equivalencia:

• La reflexividad: $xe = ex = x$ Así que $x\sim x$ .
• Simetría: obvia.
• Transitividad: Supongamos que $x \sim y$ y $y \sim z$ . Entonces $\exists a,b,c,d$ tal que $ab=x$ , $ba=cd=y$ y $dc=z$ . Dejemos que $e = ad^{-1}$ y $f=db$ . Entonces $ef = ad^{-1}db = ab = x$ y $fe = dbad^{-1} = dyd^{-1} = dcdd^{-1} = dc = z$ . Así que $x \sim z$ . $\square$

Pregunta: Dejemos que $[x]$ denotan la clase de equivalencia de $G/\mathord\sim$ que contiene $x$ . Supongamos que dejamos $[x][y] = [xy]$ . ¿Está bien definida esta operación?

Si es así, entonces $G/\mathord\sim$ es claramente un grupo bajo esta operación. Además, es conmutativa, ya que $[x][y] = [xy] = [yx] = [y][x]$ (donde la igualdad del medio es por definición de $\sim$ ).

Answer 1

No, no lo es (salvo en casos triviales). Tenga en cuenta que el único elemento equivalente a $e$ es $e$ sí mismo.
Así que si $y \in [x]$ pero $y \ne x$ , $y x^{-1} \in [x] [x^{-1}]$ pero no está en $[x x^{-1}] = \{e\}$ .

Answer 2

Nótese que la relación de equivalencia es idéntica a las clases de conjugación. Si

$$\exists a: axa^{-1}=y$$ entonces $$a^{-1}axa^{-1}a=x,\;(a)(a^{-1}axa^{-1})=axa^{-1}=y$$ o en un mejor día simplemente $$a^{-1}(ax)=x,\;(ax)a^{-1}=y$$ y a la inversa $$\exists a,b: ab=x,\;ba=y\implies aya^{-1}=x$$