¿Está aprendiendo física (teórica) útil, importante para un matemático?

Question

Estoy empezando a leer El Princeton Compañero de las Matemáticas, en el principio dice:

Una correcta apreciación de las matemáticas puras requiere un poco de conocimiento de aplicar las matemáticas y la física teórica.

Algunos de mis profesores me han dicho que la Matemática moderna requiere algo de conocimiento acerca de la Mecánica Cuántica y la Física teórica.

Asistí a la segunda y tercera jornada de la José Adem Memorial de la Serie de Conferencias por Matilde Marcolli en el comienzo de este año, fueron acerca de la teoría de números, Cuántica, Mecánica estadística y la teoría Cuántica de campos. Yo no entendía una sola palabra, pero de alguna manera las pocas cosas que he entendido que había una gran impresión en mí.

Por favor, dame algunos ejemplos de las Matemáticas puras que requieren/uso de la Física.

Answer 1

Como un estudiante de posgrado de la matemática pura, me pregunta cómo válida la afirmación de que una adecuada apreciación de las matemáticas puras requiere algunos conocimientos de matemáticas aplicadas y física teórica. Tal vez parte de esto viene de: ¿dónde está la línea que separa las matemáticas aplicadas y la matemática pura? Si se incluye la totalidad de cálculo dentro de las matemáticas aplicadas, que esto es sin duda cierto. Pero tengo que hacer un montón de trabajo en la teoría analítica de números, y tengo un duro tiempo con la física teórica que yo empleo. También tengo un tiempo difícil la separación de física teórica de la matemática pura - ambos son en gran parte mística, sin apretar el formato y abierto. Uno podría argumentar que los físicos teóricos que preocuparse más con las descripciones del mundo natural, mientras que los matemáticos sólo se refieren a sí mismos con lo que es coherente en lugar de lo que es posible... pero no sé cómo me siento acerca de eso.

He de decir, sin embargo, que yo creo que ambos matemáticas aplicadas y física teórica se basan en gran medida en la " pura matemática." Pienso en campos como la Teoría de la Mentira, que me parece una pura matemática. Mentira Grupos son una de las herramientas fundamentales utilizadas en los teóricos de la física cuántica en estos días - la existencia de un gran número de partículas y simetrías a menudo se sospecha a causa de las matemáticas y pensamientos dio a luz dentro de Álgebras de Lie.

Pero tal vez es bueno saber que con el impresionante poder de las matemáticas puras a veces. Cuando se enteraron de Mentira Álgebra, o cualquier tipo de Álgebra Abstracta, yo creo que puede ser muy enriquecedora para aprender acerca de las soluciones para el oscilador armónico cuántico y/o de la partícula en una caja situaciones. Mientras estos se pueden hacer de forma analítica (o a través de la inspiración divina, como parece ser lo que mi viejo profesor espera de nosotros), Dirac empleados en un ambiente muy cool uso del álgebra para resolver estas cosas. Este grupo incluido-como el comportamiento y la creación de la "escalera de los operadores", y más se puede encontrar en wikipedia. En este sentido, aprecio la matemática pura, más porque de este conocimiento de matemática aplicada.

Una gran cantidad de teoría de grupo también puede ser aplicado a la mecánica cuántica. Las sorprendentes propiedades de la Pauli spin matrices puede parecer flukelike, pero pueden ser previstas y analizadas a partir de un grupo de teoría de contexto. Sospecho que a muchos les es muy gratificante ser capaz de predecir a partir de resultados experimentales completamente teórico de actividades.

Como un matemático puro, una de las preguntas que con frecuencia me preguntan es " ¿por Qué la atención a la gente acerca de lo que haces?' Mientras que yo pudiera salir algo bueno que decir, creo que es razonable decir que la mayoría de los trabajos que los matemáticos puros hacer nunca va a encontrar una aplicación que la gente iba a declarar " de utilidad.' De este modo cuando un poco de la matemática pura es 'aplicada, esta re-convence a la gente de que la financiación el estudio de la matemática pura es un esfuerzo que merece la pena. Yo se basan en la creencia de que, por mi propia financiación, por lo que agradezco la matemática aplicada, con un montón :P.

Voy a terminar con un ejemplo más. Remito de nuevo a Dirac, porque sé mucho acerca de su vida y cómo él pasó sobre su trabajo de investigación. Dirac defendió el uso de la geometría proyectiva (y lo que creo que ahora clasificar de la geometría diferencial) para descubrir la física. Aquí es una transcripción de una charla que dio sobre este tema a la vez. La geometría es una cosa interesante, porque a menudo visualmente se basa o bien basado en la intuición. Aunque yo no soy un aparejador, yo sin embargo estoy muy contento cada vez que puedo utilizar una situación física (incluso física cuántica, un poco menos intuitiva) para interpretar mejor algún tipo de situación geométrica. Del mismo modo, es bueno ser capaz de aplicar una intuición geométrica al parecer, a un no-problema geométrico de las ciencias aplicadas. Os animo de verdad a un rápido vistazo a través de la transcripción.

Esto es lo que tengo por ahora.

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Se me ha ocurrido a través de unos enlaces que creo que hablar de este asunto muy bien. Uno es de un sitio que trata de la forma física no viene de las matemáticas a solas - me tomo esto como un ejemplo de cómo la matemática es demasiado general (en general) para la física. El segundo es un documento que habla acerca de tres de muy alto nivel de matemáticas de las cosas que surgió de interpretaciones físicas. Una buena adición, espero.

Answer 2

Sin duda, es posible estudiar todo tipo de temas en matemática pura, sin ningún conocimiento de la física, porque siempre encontrará la literatura/investigadores que se utilizan para explicar los conceptos clave a los colegas de los matemáticos sin ningún tipo de conocimiento en la física.

Pero aquí hay algunos ejemplos de la utilidad de las interconexiones, en orden arbitrario:

1. El ejemplo más destacado de la historia reciente es probablemente la obra de Edward Witten en bajas dimensiones de la topología que le valió la medalla Fields. Wittens obra está inspirada en el pensamiento acerca de la teoría cuántica de campos y extensiones, utilizando herramientas heurísticas como la ruta de las integrales. Fue muy exitoso, por lo que otros matemáticos han tratado de aprender las herramientas de la física teórica, también, lo que llevó a los seminarios que llevó, por ejemplo, a los dos tomos del libro "Cuántica de Campos y Cuerdas: Un Curso para los Matemáticos". Sus métodos se tradujo en la reducción de la longitud de algunas pruebas de Donaldson de más de 100 páginas a < de 10 páginas.

2. La mecánica clásica es el estudio de simpléctica colectores (esto es una simplificación, por supuesto). Gran parte de la obra de Poincaré sobre ecuaciones diferenciales ordinarias fue inspirado por el estudio de la mecánica clásica.

3. Principio de paquetes es sobre el estudio de los clásicos y cuánticos de calibre teorías, que abarca el electromagnetismo, por ejemplo. Los lazos estrechos que han llevado Dale Husemöller a la (co) autor "Paquete Básico de la Teoría y K-Cohomology Invariantes (Notas de la Conferencia en la Física)", que es una extensión de su clásico libro de texto "de haces de Fibras".

4. La mecánica cuántica es acerca de los operadores lineales en espacios de Hilbert. La mayoría de los lineales, el análisis funcional ha sido desarrollado con el fin de entender la mecánica cuántica, en especial todo lo que von Neumann hizo.

5. La geometría diferencial en colectores de Lorenz es el estudio de la teoría de la relatividad general = gravitación.

6. Álgebras de operadores (C* y álgebras de von Neumann) es de aproximadamente axiomático cuántica, mecánica estadística, ver Robinson, Bratteli: Álgebras de operadores Cuántica y la Mecánica Estadística 1 y dos. Y es axiomática la teoría cuántica de campos, consulte Haag: "Local de la Física Cuántica". La estructura de la teoría de álgebras de von Neumann encuentra profunda de aplicaciones, por ejemplo la clasificación de los factores que se aplica a locales de álgebras, modular teoría está conectado a las representaciones de la Poincaré grupo etc. Ya se mencionó el trabajo de los Connes et. alt. acerca de la geometría no conmutativa y su aplicación a la teoría cuántica de campos y el modelo estándar. La geometría no conmutativa, también se aplica en el fin de construir cuántica versiones de spacetimes (es decir, la geometría cuántica).

7. La dinámica de fluidos es acerca de las soluciones a las ecuaciones de Navier-Stokes. El flujo ideal de fluidos formas de infinitas dimensiones colectores, consulte "V. I. Arnold, ; B. A. Khesin: métodos Topológicos en la hidrodinámica."

8. Alguien que me debe de explicar las aplicaciones de los complejos y la geometría algebraica a la teoría de cuerdas. (Y n-categorías).

Todos estos temas pueden ser estudiados sin mencionar la física teórica, aunque yo creo que sería una vergüenza para hacer eso.

Answer 3

Sugiero leer Las Oportunidades perdidas por Freeman Dyson, un ensayo en el que describe las oportunidades perdidas en matemáticas debido al hecho de que los matemáticos no estaban interesados en los nuevos desarrollos en la física (por ejemplo, la investigación de las simetrías de las nuevas ecuaciones de Maxwell).

Sin duda, es malo que un conocimiento de la física es necesaria para las matemáticas, pero un desconocimiento generalizado de los desarrollos en las áreas que utilizan las matemáticas conduce a la pérdida de oportunidades y perdió la intuición.

Editado para añadir: podría ser la pena señalar que la cita no dice que las matemáticas o hacer matemáticas requiere el conocimiento de la física, sino la adecuada apreciación de las matemáticas requiere. El libro pretende dar una visión general de las matemáticas y su desarrollo y requiere un poco de conocimiento de la física para hacerlo. El hecho de que es perfectamente posible trabajar feliz y productiva en muchas ramas de las matemáticas puras, sin llegar tus neuronas sucio con intuición física no está en contradicción con esto.

Answer 4

Sólo un par de aislado-y manifiestamente a los no expertos -- observaciones.

1) estoy ahí contigo preguntando acerca de la utilidad de la física de conocimientos en matemáticas. Aquí está mi historia: yo tuve la suerte de asistir a una de las mejores escuelas secundarias públicas en los Estados unidos: la Escuela Central High school. Tenían bolsillos de la fuerza por todas partes (en particular, mi último año de profesor de inglés fue uno de los más doctos de la gente que he conocido; una vez he comparado Greg Kuperberg a él en MO, y Greg fue convenientemente halagado!) pero en retrospectiva, es justo decir que sus programas de matemáticas y ciencia de la cabeza y los hombros por encima del resto. Tomé cada una de Colocación Avanzada de la ciencia supuesto, tuvo que ofrecer-de modo que la Biología, la Química y dos años de Física, y tuvieron la universidad de crédito para todos ellos. Pero de alguna manera yo no estaba muy emocionado con estos cursos: había un montón de memorización y en la solución de los problemas de calibrado para ser tan y tan difícil. Como estudiante fui a la Universidad de Chicago, que tiene uno de los más extensos de "los programas" entre las universidades de estados unidos. Por otra parte como un estudiante de matemáticas que había que tomar cuatro cursos de matemáticas en las Ciencias Físicas de la Colegiata de División más allá de los requisitos básicos. Pero a causa de toda esta AP, yo era capaz de colocar fuera de todos mis requisitos básicos y todavía queda algo más para aplicar a los requisitos principales: la única "ciencia" de las clases me tomó como un pregrado fueron dos cuartos de ciencias de la computación (en Pascal, si se puede creer en ello). En lugar de eso me llevó, como era de esperar, un montón de cursos de matemáticas, pero también -- como usted puede o no puede esperar, dependiendo de que tan bien me conoces-un montón de humanidades cursos de diversos tipos: Shakespeare, clásico de la teoría del cine, el Paraíso Perdido...(Cada uno de estos cursos fue un verdadero placer y un cambio de ritmo. Me sentí mucho más cómodo solución de dos conjuntos de problemas de la semana y escribiendo un artículo cada dos semanas de la resolución de cuatro problemas de una semana. Ahora que lo pienso, tal vez las cosas no han cambiado mucho: creo que la escritura gratificante e incluso algo relajante y hacer que una parte sustancial de mi "tiempo de trabajo".)

Como resultado de esto, aunque tengo algún tipo de formación en los mismos fundamentos de la física como de 17 años, he tomado cero grave, de la universidad a nivel de cursos de física. Durante un tiempo me fue bastante divertido y un poco de auto-conscientes de esto y le preguntó a su alrededor para ver cómo son comunes en esta era. Conocí a un par de personas que habían tomado como física poco como el que yo tenía; no recuerdo a nadie que admitió haber menos.

¿Cómo me siento acerca de este estado de cosas como un adulto matemático? Definitivamente puedo decir que me gustaría saber más de física que yo, o al menos tenía el tipo de sólido, pensativo comprensión de las cosas que he aprendido en el colegio que tengo que hacer para conceptos matemáticos básicos. Yo realmente no entiende la electricidad y el magnetismo muy bien (vamos a ser sinceros: la comprensión profunda es necesario ni probado en cursos de AP): por ejemplo, cosas como los condensadores son muy misterioso para mí. Esta falta de entendimiento hace venir en mi trabajo a veces: una vez que se refería a una aritmética geometría de papel en la que había algunos análisis de armónicos en las gráficas que los autores quisieron frase en el idioma de los circuitos eléctricos. Que era un no-go para mí, y me insistió en que escriben en el lenguaje de las matemáticas, no la física. (También me pidió prestado un libro sobre los circuitos de un colega mío que es un verdadero experto en...ejem...la capacidad de la teoría de las curvas algebraicas. Pero nunca he leído).

Así que, sí, hay aspectos de las matemáticas relacionados con mis propios intereses de investigación que no entiendo muy bien debido a mi falta de conocimiento en física. Por supuesto, existen muchos más aspectos de las matemáticas relacionados con mis propios intereses de investigación que no entiendo muy bien a causa de mi falta de matemáticas de fondo en diversos temas: a veces me fantasear acerca de lo peligroso que estaría yo si realmente entiende algebraicas pilas o categorías derivadas, por ejemplo. El punto es que nadie (casi nadie...un par de personas que trabajan aquí y/o en MO acercarse lo suficiente para ganarse mi admiración y envidia) tiene un fondo perfecto en todo lo que usted necesita para entender todas las matemáticas que quiere entender. Mi decisión a leer y a escribir acerca de Madame Bovary, en lugar de, por ejemplo, aprender acerca de la mecánica cuántica era el adecuado para mí en ese momento. Estoy feliz de ser el hombre que ha pasado su vida adulta saber algo acerca de Flaubert-es parte de lo que soy. Probablemente, algún día me lo vas a necesitar para aprender algo de física...y no creo que el aprendizaje de pregrado de física va a ser más difícil que aprender sobre algebraica de las pilas, incluso si tengo que esperar hasta que estoy en mis 40 a hacerlo.

2) [mucho más corto] Algunas partes de contemporáneo "física teórica", sería mejor pensar como ramas de las matemáticas: las diferencias que puedan existir hay más sociológica de la intelectual. Esto ya es bastante cierto acerca de la teoría de cuerdas, por lo que he visto: los teóricos de cuerdas son matemáticos que son agrupados juntos y trabajando febrilmente en un bien agrupados en la colección de problemas matemáticos. Es como que asisten a una conferencia de trabajo que ha durado $20$ años: están demasiado ocupados hablando el uno al otro y hacer que día a día los avances para escribir las cosas de acuerdo a la mucho más tranquilo de los estándares de los principales matemáticos de la publicación, así que es un gran aluvión de arxiv preprints con la intención de argumentos para convencer a los otros en vez de ser formalmente completa...pero ¿alguien realmente piensa que estas personas no son matemáticos? (El no-la teoría de cuerdas físicos seguro de verlos de esa manera, de todas las que he escuchado.)

El OP se mencionó Matilde Marcolli. Yo diría que ni siquiera un físico en el nominal sentido de los teóricos de cuerdas: ella es un matemático a través de y a través de (I quiero un matemático como ella es un matemático). Acabo de consultar su artículo de la wikipedia y estaba ligeramente sorprendido al enterarse de que su licenciatura fue en la física (pero su tesis fue sobre la auto-equivalencias de los haces de fibras!). Sería muy interesante saber más acerca de su propia experiencia en la física y su opinión sobre el tema: desde mi perspectiva externa, parece que no es principalmente una fuente de problemas interesantes y la intuición.

Answer 5

No, uno no necesita saber nada sobre física a aprender matemáticas. Pero el aprendizaje de la física teórica tiene al menos dos ventajas. Física teórica podría ser visto como un conjunto de buenos ejemplos de las matemáticas, por lo que esto tiene algún valor didáctico. Y, si es un investigador de matemáticas, un montón de nuevo matemáticas nacieron de problemas físicos. Por lo que es probablemente una buena idea para mantener un ojo hacia fuera para lo que está sucediendo en el mundo de la física.