Probando que el producto tensor es asociativo

Question

Quiero mostrar que $X \otimes (Y \otimes Z)$ es isomorfo a $(X \otimes Y) \otimes Z$ .

Intuitivamente creo que debería elegir las bases $\{e_{i}\}_{i \in I}, \{f_{j}\}_{j \in J}$ y $\{g_{k}\}_{k \in K}$ para $X,Y,Z$ y el mapa

$$e_{i} \otimes (f_{j} \otimes g_{k}) \mapsto (e_{i} \otimes f_{j}) \otimes g_{k}$$

Esto define una correspondencia bijectiva entre los elementos base y por lo tanto debería inducir un isomorfismo de espacio vectorial.

---

¿Hay alguna manera de hacer esto usando la propiedad universal del producto tensor?

---

$ \bf { \text {Context:}}$

Estoy trabajando a través de Introducción a los productos tensores de los espacios Banach por Raymond Ryan, y estoy trabajando en los ejercicios al final del primer capítulo. Intentaré resumir lo que tengo disponible.

Definimos el espacio $X \otimes Y$ para ser funcionales lineales en el espacio $B(X \times Y)$ de mapas bilingües en $X \times Y$ .

Eso es, $x \otimes y:A \mapsto A(x,y)$ para $A \in B(X \times Y)$ .

Hemos declarado y demostrado

$ \bf { \text {Universal Property of Tensor Products}}$ : Deje que $X,Y,Z$ ser espacios de vectores. Por cada bilineal $A:X \times Y \to Z$ hay un único mapa lineal $ \hat {A}:X \otimes Y \to Z$ de tal manera que $ \hat {A}(x \otimes y) = A(x,y)$ .

A continuación demostramos que el producto Tensor es único hasta el isomorfismo (en el sentido de tener esta propiedad).

No definimos ninguna estructura de producto de tensor superior como $ \otimes_ {i \in I}X_{i}$ .

Answer 1

Aquí hay un bosquejo del argumento basado en la insinuación de Stefan Walter.

---

Empieza por fijar $x \in X$ y definir el mapa bilineal $Y \times Z \to (X \otimes Y) \otimes Z$ por $$(y,z) \mapsto (x \otimes y) \otimes z$$

Por la propiedad universal declarada en mi pregunta, esto induce un mapa lineal $$A_{x}:Y \otimes Z \to (X \otimes Y) \otimes Z \text { such that }A_{x}(y \otimes z) = (x \otimes y) \otimes z \text { for every }y \in Y,z \in Z$$

A continuación, definir el mapa bilineal $X \times (Y \otimes Z) \to (X \otimes Y) \otimes Z$ por $$(x, \sum_ {i=1}^{n}y_{i} \otimes z_{i}) \mapsto A_{x}( \sum_ {i=1}^{n}y_{i} \otimes z_{i})$$

Pasar este mapa a través de la propiedad universal produce el isomorfismo.