Descomposición de un espacio polaco en conjuntos cerrados

Question

Es posible descomponer $\mathbf R$, o en general, cualquier innumerables polaco espacio, en $\mathfrak c$-muchos discontinuo cerrado subconjuntos tales que la unión de infinito subfamilia es densa?

Si es así, ¿qué restricciones adicionales (si los hubiere) tienen que ser puestas en el espacio para permitir que este (sospecho que la conexión/cero dimensionalidad podría jugar un papel importante allí, si es que es posible)?

Traté de construir una descomposición utilizando el conjunto de Bernstein (o una familia), pero sin mucho éxito.

Esta pregunta está motivada por la otra pregunta (que, hasta donde yo puedo ver, es equivalente a mi pregunta en caso de $\mathbf R^2$).

editar: En el último comentario, parece que estaba bajo la falsa impresión de que para el cociente de los mapas, el cierre de la preimagen es la preimagen de cierre, lo cual no es cierto en general.

Answer 1

Dicha partición no existe para los primeros contables de espacio, así que sin duda no para el polaco espacios.

Deje $P$ ser una colección de conjuntos cerrados, de tal manera que la unión de cada subconjunto infinito está en todas partes densas. Si $x$ es un punto con una contables barrio la base, luego se $x \in F$ para todos, pero countably muchos $F \in P$.

Prueba: Deje $\{B_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ser una disminución en el barrio de la base de $x$. Definir $d: P \to [-\infty, +\infty]$$d(F) = \sup \{ n \mid F \cap B_n \neq \emptyset \}$. Porque la unión de cada subconjunto infinito de $P$ debe intersectar cada $B_n$, $\{ F \in P \mid d(F) \le n \}$ es finito para cada $n \lt \infty$. Si sigue ese $d(F) = \infty$ para todos, pero countably muchos $F\in P$, y para todos estos $F$, ya que el $F$ es cerrado, $x \in F$.