Un punto de inflexión donde la segunda derivada no existe?

Question

Un punto $x=c$ es un punto de inflexión si la función es continua en ese punto y la concavidad de la gráfica cambia en ese punto. Y una lista de posibles puntos de inflexión será aquellos puntos donde la segunda derivada es cero o no existe. Pero si la continuidad es necesaria para que un punto sea un punto de inflexión, ¿cómo podemos considerar puntos donde la segunda derivada no existe como puntos de inflexión?

Además, un punto de inflexión es como un punto crítico excepto que no es un extremo, ¿verdad? Entonces, ¿por qué consideramos puntos donde la segunda derivada no existe como puntos de inflexión?

gracias.

Answer 1

Tomemos por ejemplo $$f(t) = \begin{cases} -x^2 &\text{si $x < 0$} \\ x^2 &\text{si $x \geq 0$.} \end{cases}$$

Para $x<0$ tienes $f''(x) = -2$ mientras que para $x > 0$ tienes $f''(x) = 2$. $f$ es continua en $0$, ya que $\lim_{t\to0^-} f(t) = \lim_{t\to0^+} f(t) = 0$, pero como la segunda derivada lateral izquierda $-2$ es diferente de la segunda derivada lateral derecha $2$ en cero, la segunda derivada no existe allí.

Para tu segunda pregunta, tal vez las cosas sean más claras si se expresan así

Si la segunda derivada es mayor que cero o menor que cero en algún punto $x$, ese punto no puede ser un punto de inflexión

Esto es bastante razonable: si la segunda derivada existe y es positiva (negativa) en cierto $x$, entonces la primera derivada es continua en $x$ y estrictamente creciente (decreciente) en torno a $x. En ambos casos,$x$ no puede ser un punto de inflexión, ya que en dicho punto la primera derivada debe tener un máximo o mínimo local.

Pero si la segunda derivada no existe, entonces no es posible realizar ese razonamiento, es decir, para esos puntos no se sabe nada sobre el posible comportamiento de la primera derivada.

Answer 2

Una función puede ser continua pero no tener una segunda derivada. Por ejemplo, considera $$f(x)=\cases{ -x^2 & $x\le 0$ \\ x^2 & $x>0$ }$$ con segunda derivada $$f''(x)=\cases{ -2 & $x< 0$ \\ \text{undefined} & $x=0$ \\ 2 & $x>0$ }$$

La afirmación que das dice solo que necesitas verificar los puntos sin una segunda derivada o donde es cero. Hay ejemplos donde

1. la segunda derivada no existe como $$f(x)=\cases{ x^2 & $x\le 0$ \\ 2x^2 & $x>0$ }$$
2. la segunda derivada sí existe y es cero como $f(x)=x^4$

pero la función no tiene un punto de inflexión.

Answer 3

La función $y=x^{{1/3} }$ tiene como segunda derivada $y''= -\frac{2}{9}\,{x}^{-5/3}$, la cual es indefinida en $x = 0$. Las pendientes de las rectas tangentes a la curva original $y$ tienden a $\pm \infty$ a medida que $x$ se acerca a $0$. A pesar de que la segunda derivada es indefinida en el punto $x = 0$, es un verdadero punto de inflexión de $y$ .

Answer 4

Toma la función $f(x)=x^{1/3}$ que tiene $0$ como punto de inflexión pero las derivadas no existen en ese punto. En particular, la doble derivada tampoco existe.

Answer 5

Un punto de inflexión existe donde la concavidad cambia. Donde la derivada es creciente, el gráfico es cóncavo hacia arriba; donde la derivada es decreciente, el gráfico es cóncavo hacia abajo. La concavidad puede cambiar donde la segunda derivada es 0 o no está definida. Dijiste que el gráfico debe ser continuo. No estoy seguro de que sea cierto, pero si lo es, entonces esto todavía funciona. El gráfico puede ser continuo incluso si la segunda derivada no lo es. En otras palabras, si la segunda derivada no está definida en x=a, la función no diferenciada f(x) aún puede existir en x=a. Solo el gráfico debe ser continuo. La segunda derivada no tiene que serlo. No estoy seguro si respondí todas tus preguntas, pero espero haber ayudado.