Para $|G|$incluso, $\forall x\in G\exists b\in G\setminus{\{x^{-1}\}}$ tal que $bxb = x^{-1}$

Question

Esta es otra de las tareas de la pregunta que no puedo averiguar.

Para $|G|$ a, $\forall x\in G\exists b\in G\setminus{\{x^{-1}\}}$ tal que $bxb = x^{-1}$

Traté de juguete con la asociatividad, pero fue en vano. También, no veo la relevancia de $|G|$ incluso. Cualquier sugerencia (no estoy aquí para la solución) es apreciado.

Gracias por su atención.

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Actualización: yo pensaba que iba a mostrar la prueba que he escrito, ya que lo mínimo que puedo comercio para el esfuerzo que se tomó para que me ayude. Estoy ansioso para cualquier tipo de retroalimentación por lo tanto, si usted está a punto de hacer un comentario sobre él, sin mostrar piedad. Yo estoy tratando de mejorar.

Deje $x \in G$. Hay a la izquierda para demostrar que no existe $b \in G\setminus{\{x^{-1}\}}$ tal forma que:
$bxb = x^{-1}$
$\Longleftrightarrow (bxb)x = x(bxb) = e$
$\Longleftrightarrow (bx)bx = xb(xb) = e$
$\Longleftrightarrow (bx)^{2} = (xb)^{2} = e$
$\Longleftrightarrow bx = (bx)^{-1}$ $xb = (xb)^{-1}$
$\Longleftrightarrow bx = x^{-1}b^{-1}$ $xb = b^{-1}x^{-1}$

Deje $a \in G\setminus{\{e\}}$ tal que $a = a^{-1}$. (Sabemos que tales $a$ existe un resultado anterior). Deje $b = ax^{-1}$. Entonces:
$bx = x^{-1}b^{-1}$ $xb = b^{-1}x^{-1}$
$\Longleftrightarrow ax^{-1}x = x^{-1}(ax^{-1})^{-1}$ $xax^{-1} = (ax^{-1})^{-1}x^{-1}$
$\Longleftrightarrow a = x^{-1}xa^{-1}$ $xax^{-1} = xa^{-1}x^{-1}$
$\Longleftrightarrow a = a^{-1}$ $xax^{-1} = xax^{-1}$

¿Qué piensas de eso?

Answer 1

Lo que el reclamo que nos dice es que para cualquier elemento $x$ de la $G$, hay algunos $b$ $G$ (distinta de $x^{-1}$) tal que $bx$ es su propia inversa. Pruebe a ver qué pasa si "tratar" todos los $b$'s (aparte de $x^{-1}$) $G$ y nunca obtener, en el producto $bx$, un elemento que es su propia inversa. (Tenga en cuenta también que cuando se ejecuta a través de todos los posibles $b$'s en el producto $bx$, en realidad se está cubriendo todo el grupo, esto es debido a la cancelación de la ley). Pensar acerca de la relación entre algunos elementos de su propia inversos (o, de manera equivalente, teniendo orden 2) y el orden del grupo, incluso.

Answer 2

Consejo. tiene orden % de $bxb = x^{-1}\Longleftrightarrow bx = x^{-1}b^{-1}\Longleftrightarrow bx = (bx)^{-1}\Longleftrightarrow bx$ $1$o $2$.

Excepto $b=x^{-1}$ garantiza que $bx\neq e$.

Answer 3

Aquí están algunas sugerencias, lea una a una si quieres seguir buscando a sí mismo :-)

1 - Decir |G| es incluso significa que el grupo contiene algunos $a$ que satisface $a^2 = 1$ pero $a\neq 1$.

2 - Para los que recibieron $x$ usted debe tratar de encontrar la $b$ tal que $(bx)^2 = 1$

3 - por Lo que podría intentar encontrar $b$ tal que $bx = a$

4 - Esto significa $b = ax^{-1}$.

-editar

Decir $|G|$ es incluso. Existe $a$ tal que $a^2 =1$, $a\neq 1$. (Ver los argumentos en los comentarios.) Ahora tomar cualquier $x\in G$ y deje $b := ax^{-1}$. De hecho, esta $b$ satisface

• $b\neq x^{-1}$, debido a $b = x^{-1}$ daría la contradicción $bx = a = 1$
• $bxb = ax^{-1}xax^{-1} = aax = x$ como se requiere.