Reflexiones sobre una esfera

Question

Hay una esfera situada en un punto s con el radio r. La Esfera es un espejo perfecto. Si estoy sentado en el punto c, quiero lanzar un rayo a la esfera dicho que me golpeó el punto p después de rebotar en la superficie de la esfera. Para esto, quiero encontrar el punto x.

He tenido algunos problemas para formular este problema.

¿Cómo puedo encontrar x?

El punto p es siempre visible (en el reflejo) de c.

Una formulación en 2D sería suficiente para empezar.

NOTA

Las líneas de xc y xp no tienen la misma longitud. La línea sx debe ser la bisectriz del ángulo de xcp.

Necesito solucionar este problema analíticamente, no puede utilizar métodos numéricos para aproximar la solución.

Answer 1

Parece que "un punto de reflexión en una esfera de la computación" fue realizado por David Eberly y es necesario calcular las raíces de un polinomio cuártico.

Answer 2

Encontrar la bisectriz de $\angle{CSP}$, entonces el punto X es la intersección de esta bisectriz con la esfera de círculo.

Nota: Por encima de la simple respuesta sólo funciona al punto C y P es simétrico al centro S.

En general, el vector $\vec{SX}$ divide $\angle{CXP}$ (no $\angle{CSP}$). Así, para encontrar el punto X, representado como $X=S+(rcost,rsint)$, que tenemos que resolver la siguiente ecuación:

$\frac{\overrightarrow{XC}}{|\overrightarrow{XC}|}\cdot \vec{n} = \frac{\overrightarrow{XP}}{|\overrightarrow{XP}|}\cdot \vec{n} $

, donde $\vec{n}=\frac{\overrightarrow{SX}}{|\overrightarrow{SX}|}$

No es fácil de resolver analíticamente para punto X de esta ecuación. Pero puedes hacer numéricamente.

Answer 3

Sugerencia. Encontrar línea $l_1$ que pasa por $C$ y $X$, $l_2$ $P$y $X$ y tangente línea $l_3$ al círculo en $X$. Luego escribe que el ángulo entre $l_1$y $l_3$ es igual al ángulo entre $l_2$y $l_3$.

Answer 4

aquí está mi intento de solución para el caso de dos dimensiones. voy a tomar el círculo centrado en el origen y radio $r.$ i se llevará a $c = (c_1, c_2)^T, p = (p_1, p+2)^T, x = (r\cos t, r\sin t)^T$ determinaremos $t$ sujeto a la restricción de que la línea de $OS$ biseca $\angle CSP$

$$ \dfrac{ c\cdot x - r}{p \cdot x - r}= \dfrac{(c-x) \cdot x}{(p-x) \cdot x} = \dfrac{\lvert c - x \rvert \lvert x \rvert \cos \ángulo de las OSC}{ \lvert p - x \rvert \lvert x \rvert \cos \ángulo PSO} = \dfrac{\lvert c - x \rvert}{ \lvert p - x \rvert} $$

necesitamos resolver $$\dfrac{ c\cdot x - r}{p \cdot x - r}= \dfrac{\lvert c - x \rvert}{ \lvert p - x \rvert} \text{ para } t. \tag 1$$

deje $c.x = r|c|\cos(t+\alpha), p.x = r|p|\cos(t+\beta).$, entonces la ecuación anterior (1), en $${\left( \dfrac{|c|\cos(t+\alpha)}{|p|\cos(t + \beta)} \right)}^2 = \dfrac{|c|^2 - 2r|c|\cos(t + \alpha)+r^2}{|p|^2 - 2r|p|\cos(t + \beta)+r^2} \tag 2$$