¿Encontrar el polinomio mínimo de este elemento?

Question

Vamos $f(x)=x^3+x+1$. $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 -$ las raíces de $f$. La tarea es determinar el polinomio mínimo de a$\frac{\alpha_1}{\alpha_2}$$\Bbb Q$$\Bbb Q(\alpha_1)$.

Mis pensamientos (no estoy seguro si todo es correcto)

Sólo hay una raíz real de $f$, ya que el $f'=3x^2+1>0$. Por lo $x^3+x+1=(x-b)(x-w)(x-\overline{w})$ algunos $w \in \Bbb{C} \setminus \Bbb{R}$$b \in \Bbb{R}$. Si abrimos paréntesis, a continuación, obtenemos $$\begin{cases}b=-w-\overline{w}\\ b(w+\overline{w})+w\overline{w}=1\\aw\overline{w}=-1\end{cases}$$

Este conjunto de ecuaciones se puede llevar de alguna manera el hecho de que $\Bbb Q (\frac{\alpha_1}{\alpha_2}) = \Bbb Q(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ $[\Bbb Q (\frac{\alpha_1}{\alpha_2}):\Bbb Q] = 6$ (lo que debería ser si echamos un vistazo a la primera ecuación), independientemente de lo que las raíces llamamos a $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$. Así tenemos que el polinomio mínimo de a $\frac{\alpha_1}{\alpha_2}$ tiene grado 6. Y desde $[\Bbb{Q}(\alpha_1):\Bbb{Q}]=3$, entonces el polinomio mínimo de más de $\Bbb{Q}(\alpha_1)$ tienen grado 2. Pero, ¿cómo puedo averiguar qué son?

Gracias de antemano!

Answer 1

El grupo de Galois de su polinomio es $S_3,$, por lo que todos los de la $\beta_{ij} = \alpha_i/\alpha_j$ son conjugadas. Así, los coeficientes del polinomio mínimo son los diversos simétrica de las funciones de la $\beta_{ij}.$ Aviso que ya que las raíces de este polinomio se vienen en sentido contrario a los pares de $\beta_{ij} \beta_{ji} = 1,$ el polinomio es recíproco (que es el $k$-ésimo coeficiente es igual a la $6-k$th coefficent. El término constante es, por lo tanto, $1.$ El resto es sólo algunos tedioso cálculo, siempre y cuando se recuerde que la simétrica de las funciones de la $\alpha_i$ son los coeficientes de su polinomio original.

Answer 2

De los coeficientes se obtiene $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 = 0$ y $\alpha_1\alpha_2\alpha_3=-1$. Así $1=(\alpha_1+\alpha_2)\alpha_1\alpha_2$ dándole $\alpha_2^{-1}= (\alpha_1+\alpha_2)\alpha_1$ y %#% $de #% por otra parte,$$\frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \alpha_1^2\alpha_2-\alpha_1-1.$% #%, a $\alpha_2^3 + \alpha_2 = -1$ $ y #%

Desde allí se puede calcular fácilmente el polinomio mínimo de $\alpha_2^{-1} = -(\alpha_2^2+1)$ $$\frac{\alpha_1}{\alpha_2} = -\alpha_1(\alpha_2^2+1).$.

Answer 3

$$a^3+a+1=0 \tag1$ $$$ b^3+b+1=0 \tag2 $1$ Hacia el lado derecho y multiplicando $$\implies a^3b^3+ab^3+ba^3+ab=1\tag3$$ restando $(2)$ $(1)$ $$\implies a^3-b^3=b-a\implies a^2+ab+b^2=-1\implies a^3b+a^2b^2+ab^3+ab=0\tag4Substracting $(4)$ $(3)$

$$a^3b^3-a^2b^2-1=0\tag5$$ Let $t=\frac{a}{b}$. Entonces, desde $a^2+ab+b^2=-1$, tenemos que $$t^2+t+1=-b^{-2}\implies (t^2+t+1)^3=-b^{-6}\tag6$ $ pero también suma de$$ t^2+2t+1=-b^{-2}+\frac{a}{b}\implies t^4+2t^3+t^2=-\frac{a^2}{b^{4}}+\frac{a^3}{b^{3}}\tag7 a $(6)$ y $(7)$ % $(t^2+t+1)^3+(t^2+t)^2=\frac{-1-a^2b^2+a^3b^3}{b^6}$y $(5)$ aquí viene al rescate :)