¿Tienen innumerables grupos electrógenos donde puede encontrar elementos de longitud arbitrariamente larga y cuáles son las condiciones para garantizar que?

Question

Me gustaría encontrar una manera de escoger un conjunto de generadores en un grupo $G$ para que uno siempre puede encontrar un elemento de $G$ de la longitud arbitraria. No estoy seguro si esto es siempre posible, y si no, ¿qué condiciones en $G$ hacer posible?

Answer 1

En general, existen innumerables grupos donde para todos los sistemas de generación, cada elemento tiene una longitud limitada por algunos $n$.

• En la Generación infinita de grupos simétricos por George M. Bergman, se muestra que la $S_\Omega$ donde $\Omega$ es un conjunto infinito, a continuación, si usted mira el Cayley gráfico generado por un generador $U$, que Cayley gráfico está acotada. Él también se muestra que, para $S_\Omega$ no hay un uniforme obligado para todos los sistemas de generación.
• Un papel por Yves de Cornulier, Fuertemente limitada grupos y poderes infinitos de grupos finitos, muestra que si $G$ es finita perfecto grupo y $I$ es un conjunto, entonces $G^I$ tiene un almacén de Cayley de un gráfico para cada set de generación de energía.
• Sela construido un grupo en un problema de Kurosh, Jónsson grupos y aplicaciones . De hecho, hay un uniforme obligado que puede ser elegido (a diferencia de $S_\Omega$).

Parece que no se puede abrir si no son contables grupos con esa propiedad. (Esta es la pregunta 8, en Bergman en papel)

La proposición 2.4 en Yves papel dice que estas propiedades para que los grupos son equivalentes:

1. (no fuertemente acotada) Hay un espacio métrico actúa con una desenfrenada órbita
2. (no cayley delimitada o ha cofinality=$\omega$) Hay una desenfrenada de Cayley gráfico, o $G$ es el contable de la unión de una estrictamente creciente de la cadena de subgrupos

Esa condición podría ser útil, si usted sabe que su grupo ha cofinality$\neq \omega$, y actúa sobre un espacio métrico con unbounded órbitas (por lo que debe haber una desenfrenada de Cayley gráfico). Hay otra condición que podría utilizar, la Proposición 2.7, desde el mismo papel.

Tal vez algo más que podría ser útil, por ejemplo, su grupo puede ser un grupo topológico que no es compacto, pero es de forma compacta generado, entonces usted tiene que el conjunto compacto da una desenfrenada de Cayley gráfico. Infinito finitely grupos generados pueden ser dada la topología discreta y, a continuación, lo finito en la generación de juego será el compact set de generación de energía, $(\mathbb{R}^n,+)$, con la norma de la topología generada por $[0,1]^n$.