¿Que las transformaciones son canónicas?

Question

1. ¿Que las transformaciones son canónicos?

2. ¿Por qué transformaciones canónicas preservar la medida de la integración en el espacio de fase?

Answer 1

Q1) Ser conscientes de que existen varias definiciones de un canónica de transformación (CT) en la literatura:

1. En Primer Lugar, Refs. 1 y 2 definen un CT como una transformación$^1$ $$\tag{1} (q^i,p_i)~~\mapsto~~ \left(Q^i(q,p,t),P_i(q,p,t)\right)$$ [junto con las opciones de un Hamiltoniano $H(q,p,t)$ y un Kamiltonian $K(Q,P,t)$; y donde $t$ es el parámetro de tiempo de] que satisface $$ \etiqueta{2} (p_i\mathrm{d}p^i-H\mathrm{d}t) -(P_i\mathrm{d}P^i-K\mathrm{d}t) ~=~\mathrm{d}F$$ para algunos de generación de función $F$.

2. En segundo lugar, la Wikipedia (octubre de 2015) llama a una transformación (1) una TC si se transforma el de Hamilton, de la nca. en Kamilton de la nca.

3. En tercer lugar, algunos autores utilizan la palabra CT como sólo otra palabra para una symplectomorphism $f:M\to M$ [que puede depender de un parámetro de $t$] en un simpléctica colector $(M,\omega)$, es decir, $$\tag{3} f^{\ast}\omega=\omega.$$ Aquí $\omega$ es el simpléctica de dos formas, que en el local de Darboux/canónica coordenadas lee $\omega= \mathrm{d}p_i\wedge \mathrm{d}q^i$.

4. En Cuarto Lugar, Ref. 1. define una extendida canónica de la transformación (ECT) como una transformación (1) [junto con las opciones de un Hamiltoniano $H(q,p,t)$ y un Kamiltonian $K(Q,P,t)$; y donde $t$ es el parámetro de tiempo de] que satisface $$ \etiqueta{4} \lambda(p_i\mathrm{d}p^i-H\mathrm{d}t) -(P_i\mathrm{d}P^i-K\mathrm{d}t) ~=~\mathrm{d}F$$ para algunos el parámetro$\lambda\notin \{0\}$, y para algunos de generación de función $F$.

Ahora vamos a hablar de la relación entre los cuatro definiciones diferentes.

1. La primera definición es un TEC con $\lambda=1$. Un TEC satisface la segunda definición, pero no necesariamente viceversa, cf. por ejemplo, este y este Phys.SE post.

2. La primera definición es un symplectomorphism (por olvidando $H$$K$). Por el contrario, no pueden ser globales obstrucciones para una symplectomorphism para satisfacer la primera definición. Sin embargo, un symplectomorphism lo suficientemente cerca para que el mapa de identidad y se define en una sola Darboux coordinar gráfico satisfacer las piezas de la primera definición que no se refieren a $H$$K$. Véase también, por ejemplo, mi Phys.SE la respuesta aquí.

3. Un TEC es no necesariamente un symplectomorphism. Contraejemplo: $$\tag{5} Q~=~\lambda q, \qquad P=p \qquad K~=~\lambda H, \qquad F~=~0,$$ donde $\lambda\notin \{0,1\}$ es una constante diferente de cero y uno, por lo que que el corchete de Poisson es que no seconserva $$ \tag{6} \{Q,P\}_{PB}~=~\lambda \{q,p\}_{PB}~\neq~\{q,p\}_{PB}~=~1. $$

Q2) Sobre el OP de la segunda pregunta, parece que el OP es, implícitamente, teniendo en cuenta la tercera definición de un CT, es decir, un symplectomorphism. Es sencillo ver que un symplectomorphism $f:M\to M$ preserva la canónica forma de volumen $$\tag{7} \Omega~:=~\frac{1}{n!}\omega^{\wedge n}$$ en el espacio de fase $(M,\omega)$, es decir, $$\tag{8} f^{\ast}\Omega=\Omega.$$

Referencias:

1. H. Goldstein, De La Mecánica Clásica, Capítulo 9. Véase el texto del eq. (9.11).

2. L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Mecánica, $\S45$. Véase el texto entre nca. (45.5-6).

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$^1$ Aunque Ref. 1 y Ref. 2 no se menciona explícitamente, se supone implícitamente que el mapa (1) es suficientemente suave bijection, por ejemplo, un diffeomorphism [que depende suavemente en el parámetro de tiempo de $t$]. Similar suavidad condiciones se supone implícitamente sobre $H$, $K$, y $F$.