Qué característica del triángulo lleva la la existencia del ortocentro

Question

Todos sabemos que todas las tres altitudes de un triángulo se reúne en el ortocentro del triángulo. Es un problema muy clásico y está probado. Sin embargo, lo que realmente quiero saber es ¿qué característica del triángulo es la profunda para que eso suceda? Por ejemplo: ¿Es esto debido a la suma de los 3 ángulos internos es igual a 180? ¿En geometría no-euclidiana, donde la suma de 3 ángulos internos es mayor o menor que 180 grados, es el cumple de 3 alturas en un solo punto? ¿O es por otra razón?

Answer 1

Tal vez es interesante notar que la definición de alturas es perfectamente sencilla para simplexes en dimensiones superiores, pero que ya en dimensión $3$ las alturas de un tetraedro general no son concurrentes. Por ejemplo, para el tetraedro con vértices $(0,0,0)$ $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(1,0,1)$, dos de las altitudes se encuentran en el origen y otras dos reúnen en $(1,0,0)$, pero no hay otros puntos de intersección; en posición general ninguna de las altitudes se intersecan.

Answer 2

Las pruebas que conozco utilizan geometría Euklidean (p. ej. el ortocentro es la intersección de la orthogonals medio de un triángulo más grande).

En geometría sintética, se pueden considerar traducción planos con una relación de ortogonalidad y el axioma de Fano (intersección de las diagonales de un paralelogramo nondegenerate), permitiendo así mínimamente que la prueba anterior. Se puede demostrar que esto hace que la geometría por lo menos un plano de Pappus.

Answer 3

A menudo se destacó Vladimir Arnol que era debido a la identidad de Jacobi en álgebras de Lie. Creo que podría haber significado el so(3) álgebra representada como $R^3$ con el vector producto cruzado como la multiplicación, pero no estoy seguro, y sería bueno ver su observación, explicó.