Significado matemático de "conjugado de Dirac"

Question

Deje $\psi$ ser un Dirac spinor. El llamado "Dirac conjugado" de $\psi$ se define a ser $\widetilde{\psi}:=\psi ^*\gamma ^0$ donde $^*$ denota el adjunto y el gamma matrices $\gamma ^\mu$ comprenden la esencia única e irreductible representación de $\mathcal{C}\ell (1,3)$. Los físicos introducir este, en un relativamente ad hoc , de modo que la cantidad $$ \widetilde{\psi}\psi $$ es invariante Lorentz. Esto hace el truco, pero tengo una sensación como de que hay algo más profundo que está ocurriendo aquí.

La cantidad de $\psi ^*\gamma ^0$ tiene sentido para un arbitrario álgebra de Clifford $\mathcal{C}\ell (1,2m-1)$, mientras que la noción de la invariancia de Lorentz es específica para el caso de $m=2$, por lo que la importancia de $\widetilde{\psi}$ en otras dimensiones no es obvio para mí. Podría darse el caso de que el significado de la $\psi ^*\gamma ^0$ es único para el caso de $m=2$, pero me sorprendería si ese fuera el caso.

Entonces, ¿qué es la matemática general importancia de la Dirac conjugado $\psi ^*\gamma ^0$.

(Por favor, hágamelo saber si la explicación de cualquier física jerga es necesaria).

Answer 1

El grupo de Lorentz, $SO(1,3)$, no es compacto, por lo tanto sus representaciones no son unitarios (en general).

Por lo tanto, si usted tiene un spinor, $\psi\in \mathcal{S}$, transformando como $\psi\mapsto S\psi$, se deduce que la construcción de la $$ \psi^\dagger \psi \mapsto \psi^\dagger S^\dagger S \psi \neq\psi^\dagger \psi,$$ desde $S^\dagger\neq S^{-1}$.

Esto nos dice que $\psi^\dagger$ no pertenece al espacio dual de la spinors, $\psi^\dagger\not\in \mathcal{S}^*$.

Es este punto, usted puede darse cuenta de que $$S^\dagger\gamma^0 = \gamma^0 S^{-1},$$ y esto permite definir un doble spinor a $\psi$ a través de la construcción de la $$\mathcal{S}^*\ni\bar{\psi}\equiv \psi^\dagger\gamma^0.$$

La esperanza sería de gran ayuda.

Resumen

La Dirac conjugado sirve para definir un doble spinor, dando un spinor en el espacio.

Answer 2

Deje $S$ denotar el espacio de Dirac spinors fundamental de la representación de $Cl(1,3)$, por lo que los elementos de $S$ son complejos columna 4-vectores, y $Cl(1,3)$ está actuando por la multiplicación de la matriz de la izquierda. La importancia general de la $\tilde\psi$ es que es la imagen de $\psi$ bajo una transformación lineal que es una equivalencia de representaciones.

Para ser más específicos, supongamos $e_i \mapsto \gamma(e_i)=\gamma_i$ denota la fundamental de la representación anterior. Podemos definir una representación diferente de $Cl(1,3)$ mediante el envío de $a\mapsto {\overline{\gamma(\beta(a))}}^t$ donde $\beta$ fundamental es la de anti-automorphism de el álgebra de Clifford que intercambia el orden de los generadores. Esto define una representación de el álgebra de Clifford en el conjugado del espacio dual $\bar{S}^*$. En particular, vemos que $e_i\mapsto {\bar\gamma_i}^t$ en esta representación.

Podemos buscar una transformación lineal $A: S \rightarrow \bar{S}^*$ que conmuta con las representaciones (es decir, queremos $A$ es una equivalencia) mediante la resolución de

$A\gamma_i={\bar{\gamma_i}}^tA$

que tiene una solución única fase (es decir, un complejo de factor de escala). Esta solución resulta de acuerdo con la matriz de $\gamma_0$.

Observe que $\bar{A}:\bar{S}\rightarrow S^*$, por lo que podemos definir un emparejamiento de elementos de $S$:

$(\phi, \psi)=<\bar{A}(\bar{\phi}),\psi>$

donde $<,>$ denota la natural vinculación de un espacio vectorial con su espacio dual. En el típico quirales (Weyl) la elección de la $\gamma$-matrices, $\gamma_0$ es simétrica y real, por lo que la matriz de $\gamma_0$ es también la matriz de esta forma bilineal.

Así, la importancia de la $\tilde{\psi}$ es que es la contracción de $\bar{\psi}$ con esta forma bilineal.

Un principio útil tengo que tener en la mente cuando pienso en estas cosas es que siempre que los físicos de hacer las cosas en un $\textit{ad hoc}$ manera, guiado por la invariancia de Lorentz, matemáticamente podemos lograr el mismo objetivo por el pensamiento acerca de la equivalencia de representaciones.