Estoy tratando de entender la prueba del siguiente teorema:
Deje $f,g\in K[x,y]$ sin un factor común. A continuación,$\#V(f,g)<\infty$.
(Aquí se $K$ es un campo y $V(f,g):=\left\{(a,b):f(a,b)=g(a,b)=0\right\}$.)
Un paso en esta prueba no está claro para mí:
Consideramos $f$ $g$ como elementos de $K(y)[x]$ donde $K(y)$ es el campo de todas las funciones racionales sobre$K$$y$. A continuación,$\gcd(f,g)=1$$K(y)[x]$.
Mi pregunta: ¿por Qué es este el caso?
Es claro para mí que $K[x,y]\subset K(y)[x]$, pero ¿por qué no $f$ $g$ tienen un factor común en este conjunto más grande?
He tratado de asumir el contrario que hay algo de común factor $h\in K(y)[x]$ tal que $f=h\cdot h_1$ $g=h\cdot h_2$ donde $h_1,h_2\in K(y)[x]$. Si a continuación, tomar el mínimo común múltiplo de los denominadores de $h_1,h_2$$h$, es decir,$b\in K[y]$, puedo obtener las ecuaciones $b\cdot f=\bar h_1\cdot\bar h$ $b\cdot g=\bar h_2\cdot\bar h$ algunos $\bar h,\bar h_1,\bar h_2\in K[x,y]\subset K(y)[x]$. Saber traté de usar que $K(y)[x]$ admite una única descomposición de cada elemento en un producto de elementos irreductibles...y se quedó atascado.
Como no soy un algebrista, podría por favor alguien que me explique en simples palabras, como para demostrar este resultado sin usar demasiado la teoría de la geometría algebraica (de la que no estoy familiarizado con)? Muchas gracias de antemano!
