Supongamos que las coordenadas de los vértices de un rectángulo dado (no degenerada) son números de Fibonacci. Supongamos que el rectángulo no sea tal que uno de sus vértices está en el # de $x$-eje y otro en el eje de % de $y$. Es cierto que ambos los lados de los rectángulos paralelos a los ejes, o hacen un ángulo de $45$ grados con los ejes.
Respuesta
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Eso es cierto, por la razón de que la secuencia de Fibonacci crece muy rápido. Suponga que existe un rectángulo en $F\times F$ donde $F=\{F_2,F_3,F_4,\ldots\}$, en cuyos lados no son paralelos a los ejes, ni hacer un ángulo de 45 grados con ellos. Deje $(F_a,F_b),(F_c,F_d),(F_e,F_f),(F_g,F_h)$ ser los vértices. Podemos asumir $a<c<e-1$, $d<b$, $f>d$ y $$ m = \frac{F_c-F_a}{F_b-F_d} \in (0,1) $$ por la simetría. Claramente, $g\leq e-1$ debe mantener, por lo que, considerando el$(F_a,F_b)-(F_g,F_h)$, tenemos: $$F_h \leq F_b + m(F_{e-1}-F_a) = F_d-\frac{1}{m}(F_c-F_a)+m(F_{e-1}-F_a).$$ Sin embargo, considerando el$(F_g,F_h)-(F_e,F_f)$, tenemos: $$F_h \geq F_f + \frac{1}{m}(F_e-F_{e-1}) = F_d+m(F_e-F_c)+\frac{1}{m}F_{e-2}.$$ Este dos de las desigualdades no son compatibles, ya que: $$m(F_e-F_c)\geq m F_{e-1} > m(F_{e-1}-F_a),\qquad \frac{1}{m}F_{e-2}\geq 0\geq -\frac{1}{m}(F_c-F_a),$$ así que las únicas posibilidades para tener un rectángulo en $F\times F$ es tomar un rectángulo con lados paralelos a los ejes o con $m=1$.
