Momento angular de la partícula rodando alrededor dentro de la esfera

Question

Tengo un cuenco hemisférico en el que la hago rodar una pequeña partícula alrededor del borde, a partir de la parte superior en el punto Una con una velocidad de $v_o$. Viaja a mitad de camino alrededor de la esfera y alcanza el punto B, que está a una distancia vertical h por debajo de Una, con una velocidad de $v_f$. Punto de Una es una distancia radial de $r_o$ desde la línea central vertical y el punto B está a una distancia radial de $r$ desde la línea central vertical. No hay fricción. El objetivo es resolver el ángulo, $\theta$, entre la horizontal y la velocidad de $v_f$.

Aquí está un diagrama del escenario del problema:

Mi solución se basa en la suposición de que el momento angular de sólo depende de las velocidades en el plano perpendicular a la línea central vertical. Es que una suposición segura? También, cuando se trata de energías, es de rotación KE lineal y KE es el mismo? Debo estar tomando RKE en cuenta?

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$$ L_o=L_f $$ $$ mr_ov_o=mrv_f\cos \theta $$ $$ \theta = \arccos(\dfrac {mr_ov_o}{mrv_f}) = \arccos(\dfrac {r_ov_o}{rv_f}) $$

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$$ KE_o + PE_o = KE_f $$ $$ \frac 12 mv_o^2 + mgh = \frac 12 mv_f^2 $$ $$ v_o^2 + 2gh = v_f^2 $$ $$ \sqrt {v_o^2 + 2gh} = v_f $$

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$$ \theta = \arccos(\dfrac {r_ov_o}{rv_f}) = \arccos(\dfrac {r_ov_o}{r\sqrt {v_o^2 + 2gh}}) $$

Answer 1

No tengo una solución, sólo algunos de los pasos para llegar allí.

He parametrizado el problema con coordenadas esféricas, $\varphi$ es el ángulo azimutal (alrededor del aro), $\psi$ es el ángulo de nutación (soltar desde el plano horizontal) para un vector de posición

$$ \vec{r} = \begin{pmatrix} r \cos \varphi \cos \psi \\ -r \sin \psi \\ -r \sin \varphi \cos \psi \end{pmatrix} $$

La derivada nos da la velocidad

$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} -r \dot\psi \cos\varphi \sin\psi - r \dot\varphi \sin\varphi \cos\psi \\ -r \dot\psi \cos \psi \\ r \dot\psi \sin\varphi \sin\psi - r \dot\varphi \cos\varphi \cos\psi \end{pmatrix} $$

Las energías son

$$ \begin{aligned} PE & = -m g r \sin \psi \\ KE & = \frac{1}{2} m r^2 \left( {\dot\varphi}^2 \cos^2 \psi + {\dot\psi}^2 \right) \end{aligned} $$

En punto de Una sabemos que $\varphi_0=0$, $\psi_0=0$, $\dot\varphi_0 =\frac{ v_0}{r_0}$ y $\dot\psi=0$.

En el punto B, sabemos que $\varphi_1=\pi$, $\psi_1=\sin^{-1} \left(\frac{h}{r}\right)$, y que $r=\sqrt{r_0^2-h^2}$ en orden para que el objeto permanezca en la superficie.

Ahora, el ángulo $\theta$ es un poco difícil de deducir y mi mejor conjetura es

$$ \begin{aligned} \tan \theta & = \frac{-\vec{v}_y}{\sqrt{\vec{v}_x^2+\vec{v}_z^2}} \\ & = \frac{\dot\varphi \cos\psi}{\sqrt{\left({\dot\varphi}^2-{\dot\psi}^2\right)\cos^2\psi + {\dot\psi}^2}} \end{aligned} $$

Ahora, cuando usted ha $PE_0 + KE_0 = PE_1 + KE_1$ hay a las variables que usted necesita para $\theta$ ($\dot\varphi$ y $\dot\psi$) y sólo 1 ecuación. La 2ª ecuación debe venir desde el momento angular de la conservación, así que yo creo que están en el camino correcto.

Answer 2

La solución parece bien a mí.

Sí: el momento angular se conserva en el plano horizontal (el peso es vertical y la reacción de la esfera de la superficie es una fuerza central) por lo que su primera relación está bien, sólo recuerda que $\theta$ no es el ángulo vertical, pero se encuentra en el plano tangente a la esfera en el punto B.

Hay dos tipos de energía rotacional: el de la partícula girando sobre sí mismo, que requeriría la partícula de masa de la distribución calculada, que no está dada por lo que asumo que debe ser descuidado. Lo que puede ser confuso es la partícula de la energía de rotación en torno al centro de la esfera: $$E=\frac{1}{2}I\omega^2$$ Para un punto de masa, momento de inercia es: $$I = mr^2$$ Recordando la relación entre angular y tangencial de la velocidad: $$\omega= \frac{v}{r}$$ tenemos exactely: $$E=\frac{1}{2}mv^2$$ De hecho, para un punto como la masa es exactamente el mismo para considerar la energía cinética relativa a la tangente de la velocidad, o la rotación de la energía cinética relativa a la velocidad angular, para este problema, estoy de acuerdo con su elección para la primera.

Answer 3

Primero, usted tiene razón: en este problema de momento angular alrededor de un eje vertical se conserva. Esto es debido a que todas las fuerzas que actúan sobre la partícula no tienen ningún componente azimutal.

Tenga en cuenta, que incluso si se supone que la partícula está rodando sobre la superficie plato sin deslizamiento, el momento angular de su propia rotación sería insignificante en comparación con el momento angular de su movimiento alrededor de la copa del eje.

Segundo, por descuidar la energía cinética de rotación, hay ambigüedades en la formulación del problema. Usted escribió: "yo hago una pequeña partícula". A mi mente su significado es que la partícula sería rodar en un tazón, sin deslizamiento. La frase "no Hay fricción" por lo tanto debe significar que no hay balanceo de fricción, es decir, la energía mecánica se conserva. Sin embargo, uno puede también dar prioridad a la frase "no Hay fricción" y asumir que el "ruedo" de la parte a ser impreciso manera de decir que la partícula de deslizamiento, sin rotación. La primera interpretación, significa que tenemos que hacer una suposición acerca de la estructura de una partícula (o al menos su tensor de inercia). Suponiendo que la partícula es un sólido uniforme de la pelota, y que su radio es pequeño comparado con el radio de curvatura de la tazón $r_0$, la energía de rotación debido a la no-deslizamiento de rodadura será proporcional lineal de la energía cinética: $RKE = \frac 25 \frac {m v^2}{2}$. A continuación, la ecuación de balance energético sería escrito: $$ KE_0+RKE_0 + PE_0 = KE_f+RKE_f. $$

Sustituyendo la expresión para la energía de rotación: $$ \frac 75 \frac{m v_0^2}{2} + m g h = \frac 75 \frac {m v_f^2} 2 $$ Tenga en cuenta que esta ecuación podría ser de hecho el aspecto de su energía original de la ecuación de conservación (sin rodar) si queremos redefinir los parámetros de $m$$g$: $$ m' = \frac75 m, \qquad g' = \frac57 g, \qquad m g = m'g', $$ se nos da la ecuación de la energía, igual que sin rotación. Puesto que la masa puede ser eliminado de todas las ecuaciones, y la ecuación de la energía es el único que contiene $g$, 'renormalization' es consistente con el resto de las ecuaciones.

Tercer punto, es que ha cometido un error. Para entender eso, tome un límite $v_0 = 0$, $h\ne 0$, que corresponden a partículas de deslizamiento hacia abajo de la taza sin cualquier momento angular. Su respuesta siempre va a dar $\theta=\pi/2$, mientras que la respuesta correcta debe ser $\theta = \arcsin (h/r_0)$.

Este error apareció en la escritura de la ecuación de conservación de momento angular. Usted escribió: $$ mr_ov_o=mrv_f\cos \theta. $$ Sin embargo, aquí $\theta$ es no el ángulo entre la velocidad y el plano horizontal. La velocidad de la partícula tiene dos componentes en el sistema de coordenadas esféricas: $$ \mathbf{v}=\mathbf{e}_{\psi}\, v_\psi + \mathbf{e}_{\phi}\, v_\phi $$ donde $\mathbf{e}_{\psi,\phi}$ son vectores unitarios en las direcciones de aumento de nutación y azimutales. $v_\phi$ entra en la (correcta) ecuación de conservación del momento angular: $$ m v_0 r_0 = m (v_f)_\phi r, $$ sin embargo, debido a que el $\mathbf{e}_\psi$ vector es no vertical, $(v_f)_\phi \ne v_f \cos \theta $. En su lugar, ya que $\mathbf{e}_\psi$ forma un ángulo $\psi$ con eje vertical: $$ \sin \theta = \frac{(v_f)_\psi\, \cos \psi }{v_f} = \frac{(v_f)_\psi\, r }{v_f\, r_0}, $$ donde se utilizó $\cos \psi = r / r_0$. El componente de desconocido $(v_f)_\psi$ podría ser fácil de encontrar, ya que desde el impulso ecuación de conservación sabemos $(v_f)_\phi$, y de conservación de la energía (ya sea original o a mi para el balanceo de la bola) podemos encontrar $v_f$.

Así que después de la sustitución obtenemos $$ \sin \theta = \pm \sqrt{\frac{r^2}{r_0^2}-\frac{v_0^2}{v_f^2}}, $$ donde $v_f$ se encuentra usando la ecuación de la energía: $v_f^2 = v_0^2 + 2 g \sqrt{r_0^2-r^2}$, (sustituto $g$ $5g/7$ a cuenta de no-deslizamiento de los rolling). El $\pm$ signo refleja el hecho de que la velocidad podría tener ya sea positivo o negativo componente vertical.