¿Cuál es el valor de esto?

Question

$$\int_0^1 \frac{\arctan x}{1+x^{2}} dx = ?$ $ Intentó evaluar, pero no sé si es bueno: $$\int_0^1\frac{\arctan x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\left[\arctan x=t\Rightarrow \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\mathrm{d}t\right]=\int_0^{\frac{\pi}{4}}t \, \mathrm{d}t=\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi^2}{32}$ $

Answer 1

Aquí es otra manera de ver el mismo cálculo.

Observe que $\frac{\arctan x}{1+x^2}$ es de la forma $u(x)u'(x)$ donde $u(x) = \arctan(x)$. Por lo tanto, tenemos $$ \int_0^1\frac{\arctan x} {1 + x ^ 2} dx = \frac{1}{2}\left[(\arctan(x)) ^ 2\right] _0 ^ 1 = \frac{\pi^2}{32}. $$

Answer 2

En general:

$$\int f'(x)f(x)^n\,dx=\frac{f(x)^{n+1}}{n+1}+C$$

En nuestro caso, con

$$f(x)=\arctan x\,\,,\,\,f'(x)=\frac{1}{1+x^2}\Longrightarrow\int\frac{1}{1+x^2}\arctan x\,dx=\frac{1}{2}\arctan^2 x+C$$

Answer 3

Su respuesta es correcta. Por el camino, uno resuelve ecuaciones e integrales evalúa .