Una pregunta sobre las álgebras sigma y los generadores

Question

Supongamos que nos dan un conjunto $ \Omega $ y una colección $ \mathcal{G} $ de subconjuntos de $ \Omega $ . Supongamos además que $ A \subset \Omega $ . Ahora dejemos que $ \sigma_{\Omega} (\mathcal{G}) $ denotan la menor álgebra sigma en $ \Omega $ que contiene $ \mathcal{G} $ y que $ \sigma_{A}(\mathcal{G} \ \cap A) $ denota la menor álgebra sigma en A que contiene la colección $ \mathcal{G} \ \cap A $ .

¿Es cierto que $ \sigma_{A}(\mathcal{G} \ \cap A) = \sigma_{\Omega} (\mathcal{G}) \cap A $ ?

La inclusión " $ \subset $ "está claro, ya que si $ \mathcal{H} $ es una sigma-álgebra en $ \Omega $ que contiene $ \mathcal{G} $ entonces $ \mathcal{H} \cap A $ es una sigma-álgebra en $ A $ que contiene $ \sigma_{A}(\mathcal{G} \ \cap A) $ . ¿Pero qué pasa con la otra inclusión?

Gracias por su ayuda. Saludos, Si

Answer 1

Dejemos que $$ \mathcal{B} = \left\{B \subset X | B \cap A \in \sigma_A(\mathcal{G} \cap A)\right\}. $$ Observe que $\mathcal{G} \subset \mathcal{B}$ . Es fácil ver que $\mathcal{B}$ es un $\sigma$ -álgebra. Por ejemplo, si $B_j \in \mathcal{B}$ entonces $$ \left(\bigcup B_j\right) \cap A = \bigcup (B_j \cap A) \in \sigma_A(\mathcal{G} \cap A), $$ porque $B_j \cap A \in \sigma_A(\mathcal{G} \cap A)$ .

Por lo tanto, ya que $\mathcal{B}$ es un $\sigma$ -álgebra que contiene $\mathcal{G}$ podemos concluir que $\sigma(\mathcal{G}) \subset \mathcal{B}$ . Así, por cada $B \in \sigma(\mathcal{G})$ , $B \cap A \in \sigma_A(\mathcal{G} \cap A)$ . En otras palabras, $$ \sigma(\mathcal{G}) \cap A \subset \sigma_A(\mathcal{G} \cap A). $$