Constante de toda función

Question

Me encontré con este viejo problema del examen. Supongo que $f(z)$ es todo y el $|f(z)|< e^{|z|}$. También Supongamos que $f(z)=f(z+1)$. Mostrar $f(z)$ es una constante. Soy capaz de mostrar que la singularidad en el infinito no es un polo. Pero no puedo descartar que sea una singularidad esencial.

Answer 1

Si usted no desea utilizar la maquinaria de la extensión del teorema, la función de definir

$$g(z):= \frac{f(z)-f(0)}{e^{-i2\pi z}-e^{i2\pi z}}.$$

Donde $|f(z)| \leq e^{C |z|}$

(el denominador es un número constante de veces $\sin$.)

Entonces, es fácil ver que g(z) es entera dada la periodicidad de las condiciones en $f$. A continuación, podemos ver que $g(z)$ es limitado en las tiras $0 \leq \Re(z) \leq 1$ (y por lo tanto en todas partes). Deje $z=a + bi$ (donde $a$ $b$ son reales. Entonces

$$|g(z)| = |g(a+ bi)| \leq \frac{e^{C|b|}+1}{e^{2 \pi b}-1}$$ al $b>0$ $$ |g(z)| \leq \frac{e^{C|n|}+1}{e^{-2\pi b}-1}$$ al $b<0$ mediante el uso de la inversa del triángulo de la desigualdad en ambos sentidos en el denominador. Entonces si $C<2 \pi$, el denominador se dominan por $b$ grande por lo $g(z)$ es limitada en el infinito. Es claramente delimitado lejos de infinito.

Por Liouville, $g(z) = A$ para algunas constantes, o

$$f(z) = f(0) + A \sin(2\pi z)$$

A partir de aquí no es difícil mostrar $A=0$

Answer 2

Desde $f(z+1)=f(z)$ la función de $g(z) = f\left(\frac{\log(z)}{2\pi i}\right)$ es un único valor en $\mathbb{C}^{\ast}$ y

$$ |g(z)| < \min_{k \in \mathbb{Z}} e^{\left|\frac{\log(z) + 2k \pi i}{2 \pi i} \right|} \leq e^{\frac{\left|\log|z|\right| + \pi}{2 \pi}} = \begin{cases} |z|^{\frac{-1}{2 \pi}} e^{\frac{1}{2}} & \textrm{for } |z| \leq 1 \\[1em] |z|^{\frac{1}{2 \pi}} e^{\frac{1}{2}} & \textrm{otherwise}. \end{casos} $$

En particular, $h(z) = z g(z)$ está delimitado cerca de $z = 0$ y por Riemann extensión del teorema se extiende a toda una función para la cual $h(0)=0$. A continuación, $g(z) = h(z)/z$ sí se extiende a toda la función. Asimismo, $g(1/z)$ se extiende también a toda una función y, por tanto, $g$ es constante (es limitada). A continuación, $f$ es también constante.

Answer 3

Su propio contraejemplo es (casi) correcto. $f(z)=e^{i2\pi z}$, Usted tiene $f(z+1)=f(z)$ y $|f(z)|=e^{-2\pi\Im z}\le e^{2\pi|z|}$, sólo tiene el exponente mal.

$f$ puede ser escrito como una serie de Fourier, es decir, una combinación lineal de $e^{i2k\pi z}$, que no obedecen el $e^{|z|}$ destinados en $i$ dirección incluso sumas parciales finitas.