Sea $f(x)$ sea una función, la segunda derivada $f^{\prime\prime}(x)$ existe, y $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{e^x}=l$ . $c\gt0$ tal que para un $x$ , $|f''(x)|<c|f'(x)|$ . entonces tenemos $$\lim_{x\to + \infty}\frac{f'(x)}{e^x}=l $$
¿Lo contrario de la regla de L'Hôpital?
Muchas gracias por su ayuda
Creo que lo tengo :
definamos $G(x) = f(x)/e^{x} $ tenemos $G'(x) = \frac {f'(x)}{e^{x}} - \frac {f(x)}{e^{x}}$
Supongamos que $ \lim_{x\to + \infty}G'(x) \neq 0 $
esto significa que $ \exists\ \epsilon > 0 $ para la que podemos encontrar una secuencia monótona ( $x_{n}) $ validar : $ |G(x_{n})| > \epsilon $
El teorema del valor medio permite encontrar una secuencia $ c_{n} \in [x_{n},x_{n}+1] $ de modo que :
$$ G(x_{n}+1) - G(x_{n}) = G'(c_{n})(x_{n}+1-x_{n}) = G'(c_{n}) $$
Lo que nos da :
$$ G(x_{n}+1) - G(x_{n}) = \frac {f'(c_{n})}{e^{c_{n}}} - \frac {f(c_{n})}{e^{c_{n}}} $$
El primer par tiende a $0$ Así que $\frac {f'(c_{n})}{e^{c_{n}}} \sim l$ .
La desigualdad $ |f''(x)|<c|f'(x)| $ y el teorema de la media permite decir que $ f' $ es continuar.
desde $c_{n}\sim x_{n}$ , $G(x_{n}) \sim 0 $ . Absurdo.
Supongamos que $\lim_{x\to + \infty}\frac {f'(x)}{e^{x}} \neq +\infty$ .
$ \exists\ M > 0 $ para la que podemos encontrar una secuencia monótona ( $x_{n}) $ de modo que : $ \frac {f'(x_{n})}{e^{x_{n}}} < M $ .
Así $ G'(x_{n}) = \frac {f'(x_{n})}{e^{x_{n}}} - \frac {f(x_{n})}{e^{x_{n}}} \sim -\infty $ . Comenzando alguna gama $m $ , $ n \geq m \Rightarrow G'(x_{n}) < 0 $ (debido a la continuidad).
Otra vez el teorema de la media, $ c_{n} \in [x_{m},x_{n}] $ de modo que :
$$ G(x_{n}) - G(x_{m}) = G'(c_{n})(x_{n}-x_{m}) $$ y $$ G'(c_{n}) < 0 $$
Tendemos n a $+\infty$ que da : $G(x_{n})$ tiende a $-\infty$ . Absurdo.
Espero que sea correcto.
Usted supone que $G'(x)$ tiende a un límite o a $\infty$ pero puede ocurrir que oscile. Lo que has hecho es un simple teorema : si $G(x) \to L$ como $x \to \infty $ y $G'(x)$ también tiende a un límite, digamos $L'$ entonces $L'=0$ .
No es $G'(x)$ que tiene un límite, pero $G'(x_{n})$ y $x_{n}$ se construye a partir de la definición de no convergencia. No he utilizado " $G'(x)$ tiende a un límite". ¿O no?
Tenga en cuenta que $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x+1) - f(x)}{e^{x+1} - e^x}=l$ desde
$$ \frac{f(x+1) - f(x)}{e^{x+1} - e^x}=\frac{1}{e^{x+1}} \frac{f(x+1) - f(x)}{1 - e^{-1}} $$ $$= \left[ \frac{f(x+1)}{e^{x+1}} - \frac{1}{e} \frac{f(x)}{e^x} \right] \left( \frac{1}{1-e^{-1}} \right) $$ $$\rightarrow \left[ l - \frac{l}{e} \right]\left( \frac{1}{1 - e^{-1}} \right), \ x \rightarrow +\infty$$ $$=l$$
Por MVT, hay un $x < y < x + 1$ tal que $\frac{f(x+1) - f(x)}{e^{x+1} - e^x}=\frac{f'(y)}{e^y}$ .
Supongamos que $c \le 1$ . Por hipótesis, existe un $A>0$ tal que $|f'(x)|>|f''(x)|$ si $x > A$ . En particular, $f'$ no tiene ceros para $x>A$ Supongamos $f'>0$ .
Sea $h(x)=\frac{f'(x)}{e^{x}}$ . Desde $\left| \frac{d}{dx} \log(f'(x)) \right| = \left| \frac{f''(x)}{f'(x) } \right| < 1$ tenemos que $\log(f'(x)) - 1 = \log h(x)$ es Lipschitz con constante $1$ por la MVT. De ello se deduce que $h$ es decreciente y positivo, por lo que $\lim_{x \rightarrow +\infty} h(x)$ existe.
Dado un número entero positivo $n$ Toma $n < y_n < n + 1$ tal que $\frac{f(n+1) - f(n)}{e^{n+1} - e^n}=h(y_n)$ .
Por lo tanto, $\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{f'(x)}{e^x}=\lim h(y_n)=l$ .
Para $c>1$ aplique el resultado para $g(x)=f(\frac{x}{c})$ . (No estoy tan seguro de esta pieza).
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