definición alternativa para la acotación en una TVS

Question

Deje$X$ un espacio vectorial topológico más de$\mathbb R$ o$\mathbb C$. Un subconjunto$B\subset X$ se define a ser limitada si

para cualquier vecindario$N$ #% abierto del% #% hay un número$0$% tal que $\lambda>0$para cualquier$B\subset \mu N$.

Me preguntaba si esta noción de acotación es equivalente a decir que para cualquier entorno abierto$\mu>\lambda$ #% de% #% existe un$N$% tal que $0$

Por definición $\mu>0$.

Answer 1

La definición habitual implica la segunda.

Para ver los otros, podemos limitarnos a equilibrado barrio, es decir, conjuntos de $V$ tal que $\alpha V\subset V$$|\alpha |<1$. De hecho, cada conjunto no vacío contiene una equilibrada barrio, por la continuidad del mapa $(\lambda,x)\mapsto \lambda\cdot x$. Por lo que podemos encontrar $r$ $U\subset V$ abierto tal que $\alpha U\subset V$ si $|\alpha|<r$. A continuación, $W:=\bigcup_{|\alpha|<r}\alpha U$ hace el trabajo: es abierto como una contables de la unión de estos conjuntos y equilibrada, por definición.

Tomar un vecindario $N$$0$, $V\subset N$ equilibrada barrio de $0$. Podemos encontrar $\lambda>0$ tal que $B\subset \lambda V$. Tome $\mu>\lambda$. A continuación,$0<\frac{\lambda}{\mu}<1$$\frac{\lambda}{\mu}V\subset V$. Por lo tanto $$B\subset \lambda V\subset \mu V\subset \mu N$$ y hemos terminado.

Answer 2

En un espacio localmente convexo las dos definiciones son fácilmente equivalentes porque existe una base barrio convexa y cualquier barrio contiene$0$.

Sin embargo, en general, dos dos definiciones son equivalentes ya que siempre tiene una base barrio equilibrada.