¿Cuáles son algunos ejemplos ilustrativos de análisis dimensional en el trabajo? Especialmente, en donde puede ser utilizado para reducir significativamente la dificultad de un cálculo?
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Kevin Boyd
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Período de un Oscilador Armónico
Esta derivación es, en mi opinión, bastante espectacular.
Necesario es una fórmula para el período de $T$ de oscilación en términos de masa $m$, la constante del resorte $k$, y la aceleración gravitacional $g$. Las unidades de$T$$[\text{time}]$, y las tres variables independientes tienen unidades, respectivamente, $$m:[\text{mass}],\quad k:[\text{mass}/\text{time}^2],\quad g:[\text{dist}/\text{time}^2].$$
No podemos incluir a $g$ porque $[\text{dist}]$ unidad es imposible cancelar. Por tanto, nos tomamos $\sqrt{m/k}$ unidades $$\sqrt{\frac{[\text{mass}]}{[\text{mass}/\text{time}^2]}}=[\text{time}].$$
De ahí se sigue que $$T=\kappa\sqrt{\frac{m}{k}}$$ for some constant $\kappa$, y tenemos la fórmula.
Halfgaar
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2866
Calcular el rendimiento de un arma nuclear
Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Nuclear_weapon_yield#Calculating_yields_and_controversy
Los ensayos de armas nucleares a menudo había fotografías de la prueba que muestra el tiempo después de la denotación y una escala que describe el radio de la onda de choque.
Tomando nota de que la onda de choque de la siguiente manera física Newtoniana y las leyes de la mecánica de fluidos, el radio de la explosión depende de:
- La energía de la explosión: $\mathcal{M}\mathcal{L}^2\mathcal{T}^{-2}$;
- El tiempo después de la detonación: $\mathcal{T}$;
- La densidad del aire: $\mathcal{M}\mathcal{L}^{-3}$;
- El radio de la explosión: $\mathcal{L}$.
La solución para una constante adimensional, tenemos
$$\pi = \left(\mathcal{M}\mathcal{L}^2\mathcal{T}^{-2}\right)^a\mathcal{T}^b\left(\mathcal{M}\mathcal{L}^{-3}\right)^c\mathcal{L}^d.$$
Esto nos da un sistema de ecuaciones:
$$\begin{align*} a+c &= 0, \\ 2a-3c+d &= 0, \\ -2a +b &= 0. \end{align*}$$
En representación de la matriz, queremos calcular el núcleo de
$$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -3 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 0\end{pmatrix}.$$
Al hacerlo, nos encontramos con $a = -1, b = -2, c = 1, d = 5$.
Por lo tanto,
$$E = k\left(\frac{r^5\rho}{t^2}\right).$$
user152173
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21
Hay una interesante sobre esto en http://1ucasvb.tumblr.com/post/79629813053/ - secciones 'Dimensiones vs Unidades' y 'Dimensiones vs Conceptos' - en respuesta a la pregunta '¿Cuáles son sus pensamientos sobre la PI v. el debate tau?' Lo que el autor está diciendo es que si utilizamos tau en lugar de pi (que hace simplificar los cálculos) también hay que colocar una unidad (el radián) a tau porque esto simplificaría aún más.
Kevin Boyd
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El Vector Proyección de $u$ a $v$
Esta no es tanto una respuesta como un ejemplo, por lo que me gustaría adicionales de entrada o de explicación.
Considerar la longitud del vector de proyección $$\text{proj}_\mathbf{v}\mathbf{u}$$ of $u$ onto $v$. Say we (magically) know that the formula should involve $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$. Would it be correct to say that because $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=||u||\,||v||\cos\theta$, the dot product has these units? $$[\text{length}]^2[\text{unitless number}]=[\text{length}]^2$$ The final answer should be a length, so we have to divide out one dimension of length to obtain the true answer. By checking a few simple cases (such as projection of a zero vector, where we should not divide by its magnitude), we conclude that of the two obvious lengths which present themselves, it is appropriate to divide by that of $\mathbf{v}$. $$||\text{proj}_\mathbf{v}\mathbf{u}||=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||}$$
Es este razonamiento válido? Dejando de lado la cuestión de que muchos de estos pasos son mano ondulado, es correcto considerar un punto producto en unidades de longitud al cuadrado, o es (como creo que la mayoría de la gente intuitivamente adivinar, incluyéndome a mí, si yo no había pensado en este ejemplo), una radio sin unidades escalares?
