Su favorito de las matemáticas puzzles

Question

Bueno, así que esta pregunta estaba destinada a llegar tarde o temprano - la esperanza fue a preguntar bien antes de que alguien hizo mal...

A todos nos gusta un buen rompecabezas

En cierta medida, cualquier pieza de matemáticas es un juego de rompecabezas en algún sentido: si estamos en la clasificación de la homológica de la intersección de las formas de cuatro colectores o el cálculo de las dimensiones óptimas de un cilindro, es un elemento de investigación e inherentemente puzzlish intriga que nos impulsa. De hecho, la mayoría de los puzzles (crucigramas crípticos de lado) son algo matemático (las matemáticas de sudoku, por ejemplo, está oculto en los cuadrados latinos). Los matemáticos y los puzzles conseguir, parece, bastante bien.

Pero, ¿qué es un buen rompecabezas?

Bueno, por lo que para hacer esta pregunta vale la pena (y no un diez-página wadeathon a través de 57 variedades de los hombres con el rojo y el azul sombreros de puzzle), vamos a tener que imponer algunas limitaciones. No todos los rompecabezas basado en la respuesta que aparece en tu cabeza va a calificar para answerhood - para ello se debe

• No ser muy conocido: Si usted tiene una terrible rompecabezas interesante que motiva algo en criptografía; bien hecho, pero lo más probable es que lo he visto. Si usted vio que la hilarante escena en la película 21, en la que kevin spacey explica los monty hall paradoja mal y quiero compartir, no lo haga aquí. Nadie encontró que la publicación de el mentiroso/verdad enigma será inmediatamente disemvowelled.
• Ser matemático: tanto como sea posible - es cierto: la lógica es la matemática, pero puzzles principio, Hay una calle donde cada uno tiene un color diferente al de la casa...' son mucho de todo y aburrido como el infierno. Nota: hay un término medio entre este y sustituciones trigonométricas.
• No ser demasiado duro: cualquier nivel es cool, pero si la respuesta requiere más de dos sublemmas, usted está malinterpretando su público
• En realidad tiene una respuesta: la manivela de la pregunta no será apreciado! Puedes publicar las respuestas o sugerencias en el Rot-13 por debajo, como los comentarios como en MO si te apetece.

Y debe

• Idealmente incluir donde la encontró: por lo que podemos encontrar más cosas interesantes, como que
• Tiene que ser indefinible chispa que hace que un rompecabezas impresionante: una situación que parece familiar, que requieren desconocido pensamiento...

Para facilitar la votación - un rompecabezas por post es bestest.

Algunos ejemplos para que el balón comience a rodar

Simplificar $\sqrt{2+\sqrt{3}}$

De: resolver problemas de la revista

Sugerencia:

Pruebe con un plazo de dos solución

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Se puede hacer un triángulo equilátero con todos los vértices en coordenadas enteras?

De: Durham distancia de matemáticas challenge 2010

Sugerencia:

Esto es equivalente a la racional

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nxn cuadrados Mágicos forma un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ probar esto, y por la vía de una transformación lineal, se derivan de la dimensión de este espacio vectorial.

Desde: Me hice este (se puede decir, no se puede!!!)

Sugerencia:

Aplicar el rango de nulidad teorema de

Feliz desconcertante!

Answer 1

Los Ojos Azules del Pacífico problema es uno de mis favoritos. Usted puede leer sobre él aquí en Terry Tao de la página web, junto con algunos de discusión. Voy a copiar aquí el problema así.

Hay una isla en la que una tribu reside. La tribu se compone de más de 1000 personas, con el ojo de varios colores. Sin embargo, su religión les prohíbe a conocer su propio color de los ojos, o incluso discutir el tema; por lo tanto, cada residente puede (y lo hace) ver los colores de los ojos de todos los demás residentes, pero no tiene manera de descubrir su propia (no hay superficies reflectantes). Si un tribesperson hace descubrir su propio color de los ojos, luego de que su religión les obliga a cometer suicidio ritual al mediodía del día siguiente en la plaza del pueblo para que todos los testigos. Toda la gente de la tribu son muy lógico y devoto, y todos saben que cada uno de los otros también es muy lógico y devoto (y todos saben que todos saben que cada uno es muy lógico y devoto, y así sucesivamente).

[Para los fines de este rompecabezas de la lógica, "muy lógico" significa que cualquier conclusión a la que, lógicamente deducida de la información y las observaciones disponibles para un isleño, automáticamente se sabe que los isleños.]

De los 1000 a los isleños, resulta que 100 de ellos tienen los ojos azules y 900 de ellos tienen los ojos de color marrón, aunque los isleños no son inicialmente conscientes de estas estadísticas (cada uno de ellos puede, por supuesto, sólo ver a 999 de 1000 la gente de la tribu).

Un día, un blue-eyed extranjero visitas a la isla y se gana la confianza total de la tribu.

Una noche, él se dirige a toda la tribu darles las gracias por su hospitalidad.

Sin embargo, no conocer las costumbres, el extranjero que comete el error de mencionar el color de los ojos en su dirección, comentando "lo extraño que es ver a otro de ojos azules persona como yo en esta región del mundo".

¿Qué efecto, si algo no esta faux pas tiene en la tribu?

Answer 2

Aquí están tres de mis favoritos de las variaciones en los sombreros y los prisioneros de puzzle que he recogido a lo largo del tiempo:

1. Quince presos sentarse en una línea, y los sombreros se colocan sobre sus cabezas. Cada sombrero puede ser de dos colores: blanco o negro. Se puede ver los colores de la gente en frente de ellos, pero no detrás de ellos, y ellos no pueden ver sus propios colores de sombrero. A partir de la parte de atrás de la línea (con la persona que puede ver cada sombrero excepto la suya propia), cada preso debe tratar de adivinar el color de su propio sombrero. Si adivina correctamente, él se escapa. De lo contrario, él se alimenta a los caníbales (porque esa es la canónica castigo por fallar en el sombrero de problemas). Cada preso puede escuchar la suposición de que cada persona detrás de él. Escuchando dolorosos gritos y los aplausos de los caníbales, también puede deducir si cada una de esas conjeturas era la correcta. Por supuesto, esto se lleva a cabo en algunos mágico matemática universo donde la gente no haga trampas. Suponiendo que no quieren ser comido, encontrar el óptimo de adivinar la estrategia para los prisioneros. (Los caníbales no debe consumir más de un preso.)

2. En el año 3141, la población de la Tierra se ha disparado. Un countably infinito número de presos que sentarse en una línea (existe una atrás de la línea, pero el otro extremo se extiende para siempre). Como en el anterior problema, blanco y negro, sombreros se colocan sobre sus cabezas. Debido a la tecnología moderna, cada persona puede ver el sombrero de colores de todos infinitamente muchas personas en frente de ellos. Sin embargo, ellos no pueden escuchar lo que la gente detrás de ellos dicen, y que no sabe si esas personas sobrevivir. Suponiendo que no quieren ser comido, encontrar el óptimo de adivinar la estrategia para los prisioneros. Supongamos que no hay suficiente caníbales que comen todo el mundo que falla. (Los caníbales no debe consumir más de un número finito de prisioneros. Asumir el Axioma de Elección).

3. Hay siete prisioneros, y gorros de colores se colocan sobre sus cabezas. Los sombreros de los siete colores (rojo, naranja, amarillo, verde, azul, índigo, violeta), y puede ser colocado en cualquier acuerdo: todos del mismo color, todos de diferentes colores, o algún otro tipo de arreglo. Cada persona puede ver a todos los demás el sombrero de color, pero no puede ver su propio sombrero de color. Ellos no pueden comunicarse después de conseguir sus sombreros, y como en los problemas anteriores, permanecen en un universo mágico, donde nadie los tramposos. Ellos deben adivinar su sombrero de colores, todo al mismo tiempo. Si al menos una persona que adivina correctamente, todos ellos son liberados. Si nadie adivina correctamente, sin embargo, todo el grupo se alimenta a los caníbales. Suponiendo que no quieren ser comido, encontrar el óptimo de adivinar la estrategia para los prisioneros. (En este punto, los caníbales habrás comido demasiado. Sería cruel para obligarlos a comer más, así que sobra a los caníbales y encontrar una manera de garantizar que los siete presos sobrevivir.)

Answer 3

A partir de Rompecabezas Matemáticos por Peter Winkler:

Dividir un hexágono en triángulos equiláteros, como en la figura. Ahora llenar todo el hexágono con los tres tipos de diamantes hechos a partir de dos triángulos, como se muestra en la figura. Demostrar que el número de cada tipo de diamante es el mismo.

Answer 4

Demostrar que cualquiera de los 2 para colorear de una $K_6$ tiene dos monocromática $K_3$'s.

Answer 5

Un favorito personal (aunque no está muy bien redactado): Jamie tiene una windowbox donde las plantas de una fila de iris flores. Él las plantas en sólo dos colores - azul y amarillo -, pero nunca de las plantas de dos lirios amarillos, uno junto a otro (el resultado es demasiado chillones). Suponiendo que él quiere mantener el mismo número de flores en su caja todos los días, ¿cuántas flores se necesita si quiere un arreglo diferente de azul y amarillo, cada día durante un año?