la desigualdad diferencial implica la desigualdad de puntos en los pi distancia.

Question

Dada una función$f$ #% con% #%, muestran que$f+f''\ge 0$ para todos los$f(x)+f(x+\pi) \ge 0$.

Tenga en cuenta que para seno y el coseno ambas desigualdades se convierten en ecuaciones. Parece razonable que mirar$x$, pero las expresiones resultantes parecen concluyentes.

Answer 1

\begin{align} f(x)+f(x+\pi)&=\int_0^{\pi}\left(\sin(t)f(x+t)-\cos(t)f'(x+t)\right)dt\\ &=\int_0^{\pi}\sin(t)f(x+t)dt-\int_0^{\pi}\cos(t)f'(x+t)dt\\ &=\int_0^{\pi}\sin(t)f(x+t)dt-\left(-\int_0^{\pi}\sin(t)f''(x+t)dt\right)\\ &=\int_0^{\pi}\left(\sin(t)f(x+t)+\sin(t)f''(x+t)\right)dt\ge0 \end{align}